Matrices de Jacobi, fracciones continuas vectoriales y productos de Sobolev

Abstract

La tesis doctoral se enmarca dentro de la teoría de la aproximación estudiándose tres problemas aparentemente disconexos: las matrices de Jacobi, las fracciones continuas y polinomios otorgonales respecto a productos de Sobolev. La memoria está dividida en tres partes. En la primera se estudia una extensión de un resultado sobre determinación de matrices (infinitas) de Jacobi reales al caso complejo y prueba un resultado similar al caso real. Así, en el capítulo 2 se prueba que si una matriz de Jacobi compleja G se puede escribir de la forma G= J+C, con J una matriz de Jacobi real y C una matriz con coeficientes complejos uniformemente acotados, entonces G es determinada si y sólo si J lo es, de donde además se induce que para la determinación de los matrices G= J+C en el caso complejo es necesario y suficiente que D(G) = D(G*), donde D(G) denota el dominio del operador asociado a G y G* el adjunto de G. De esta forma se tiene la existencia a C de una propiedad conocida en R. Esto además, tiene estrecha relación con la teoría de fracciones continuas que precisamente constituye el objetivo de la segunda parte de la tesis. La segunda parte de la tesis trata de la generalización de las S-fracciones de Stieltjes "escalares". Así, se definen y estudian las fracciones continuas vectoriales. Se dan, en particular, distintas condiciones necesarias y suficientes de convergencia de S-fracciones continuas vectoriales, muchas de ellas son extensiones "naturales" de las condiciones del caso clásico. Finalmente, en el capítulo 5 se estudia la ecuación de recurrencia yn + cnYn-1 + CnYn-2 = O, n - N que está ligada al problema de la convergencia de las fracciones vectoriales.La tercera y última parte de la tesis aborda el problema de la localización de ceros de los polinomios ortogonales respecto a un producto escalar de Sobolev (.,.)S, entonces el soporte de la medida u asociada a (.,.)S es compacto.