Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición

Abstract

El objetivo de este trabajo es el de analizar la dinámica del juguete comercial basado en una peonza que levita, el Levitron® , y determinar las condiciones en las que se puede dar la levitación estable. Primeramente, se introducirá a la temática con una breve reseña histórica y una descripción general del sistema. Se enunciará el Teorema de Earnshaw, y se analizará en detalle en que casos no es aplicable, siendo el Levitron® uno de ellos. Posteriormente se definirá el modelado del sistema de la peonza y la base imantada, realizando una serie de hipótesis y simplificaciones, para los posteriores desarrollos matemáticos. En el capítulo 3 se estudiará la dinámica del sistema, a través de las ecuaciones de la mecánica clásica vectorial hasta llegar al sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento. A continuación, se linearizarán las ecuaciones en torno a un punto de equilibrio y se estudiará la región de estabilidad lineal del sistema y sus frecuencias naturales. Una vez estudiado el sistema líneal simplificado, se pasará a resolver numéricamente el sistema completo, variando los diferentes parámetros y condiciones iniciales. Se observará la influencia de los parámetros en las trayectorias y se definirán los límites de estabilidad no lineal de manera numérica. Por último, se dedicará un último capítulo para discutir los resultados y proponer unas posibles líneas de trabajo futuras.

The aim of this project is to analyse the dynamics of the commercial spin-based levitating top, Levitron® , and to determine the conditions that allow the stable levitation. Firstly, the topic will be introduced with a brief historical overview and a general description of the system. Earnshaw’s theorem will be discussed in detail, in order to determine in which cases does not apply, being the Levitron® one those. Following, the mathematical model of the top and the magnetic base will be defined, making a series of hypotheses and symplifications in order to ease the following mathematical formulations. In chapter 3 the differential equations of motion for the six degrees of freedom model are obtained, using the formulation of the vectorial classical dynamics. These equations are linearized at a given metastable equilibrium point, in order to study the linear stability of the system and its natural frequencies. Once the linear system has been studied, the complete system is solved numerically, varying the parameters and the initial conditions that define it. Thus, the influence of this parameters in the trajectory is observed and the non-linear boundaries of stability are calculated numerically. Finally, a last chapter is dedicated to summarize the results obtained in the analysis, and to propose possible future additions to this theory.