Weighted inequalities and multiparameter harmonic analysis

Abstract

El tema central de esta tesis es el estudio de desigualdades con pesos para algunos de los operadores clásicos del análisis armónico. De entre estos operadores, los que más nos interesan, son aquellos que son invariantes por dilataciones multiparamétricas. El principal representante de estos objetos es el operador maximal fuerte, elemento protagonista de esta tesis. Las dos cuestiones fundamentales que abordamos son las siguientes: ¿ Las propiedades de acotación de dichos operadores clásicos en espacios de Lebesgue con pesos. En particular, nos centramos en el estudio del problema de dos pesos para el operador maximal geométrico asociado a una cierta base general. Los resultados obtenidos se refieren fundamentalmente a las denominadas bases de Muckenhoupt, para las que se define una condición suficiente para el problema de dos pesos de tipo bump. Además, se estudia con detalle la desigualdad de Fefferman-Stein para el operador maximal fuerte. Finalmente, se caracteriza también el problema de un peso para estos operadores maximales generales en términos de condiciones débiles de tipo restringido. ¿ El cálculo preciso de la norma de estos operadores clásicos en función de la constante Ap del peso. Mostramos primero una estrategia para probar la optimalidad del exponente de la constante Ap del peso que evita el desarrollo de ejemplos específicos. Por último, aunque esta cuestión para el operador maximal fuerte continúa abierta, presentamos ciertos resultados parciales que se pueden entender como el primer paso hacia una teoría de pesos multiparamétrica cuantitativa. La estructura de la tesis es la siguiente. Consta de cuatro capítulos juntos con una introducción donde se presentan los principales problemas encuadrados en su respectivo contexto histórico. El primero de estos capítulos describe las herramientas que son necesarias para la tesis. Los tres siguientes están dedicados a los cuatro problemas que se abordan en la tesis. Todos ellos cuentan con un apéndice donde se muestran algunas extensiones y cuestiones abiertas de dichos problemas. Estos cuatro problemas principales junto con los teoremas que los resuelven se pueden encontrar en los siguientes artículos ya publicados: - [LL12] Liguang Liu and Teresa Luque, A Bp condition for the strong maximal function, to appear in Trans. Amer. Math. Soc. (2012). - [LP14] Teresa Luque and Ioannis Parissis, The endpoint Fefferman-Stein inequality for the strong maximal function, J. Funct. Anal. 266 (2014), 199¿212. - [HLP13] Paul A. Hagelstein, Teresa Luque, and Ioannis Parissis, Tauberian conditions, Muckenhoupt weights, and differentiation properties of weighted bases, to appear in Trans. Amer. Math. Soc (2013). - [LPR13] Teresa Luque, Carlos Pérez, and Ezequiel Rela, Optimal exponents in weighted estimates without examples, to appear in Math. Res. Lett. (2013).