Aspectos matemáticos de algunos métodos numéricos en mecánica de fluidos: el problema incompresible de Navier-Stokes

Abstract

El objetivo de este estudio ha sido la obtención de propiedades de convergencia y estabilidad para dos esquemas numéricos que permiten resolver las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes. Dichos esquemas han sido obtenidos modificando ligeramente otros debidos a R. Glowinski, cuya convergencia no había sido estudiada hasta la fecha. En una primera etapa, se usan métodos de direcciones alternadas del tipo de Peaceman-Rachford y de Strang. Esto reduce el problema a la resolución de problemas elípticos lineales del tipo de Stokes y problemas elípticos quasi-lineales. En la segunda etapa, estos problemas se resuelven numéricamente usando varios métodos de aproximación en espacio (elementos finitos), (para los problemas no lineales es conveniente introducir una formulación de tipo minimos cuadrados). La convergencia de las soluciones aproximadas hacia la solución del problema inicial se verifica bajo ciertas condiciones especificas de estabilidad. Las propiedades obtenidas vienen a justificar los buenos resultados numéricos conseguidos utilizando los métodos de Glowinski.

The goal of this paper is to describe some stability and convergence properties for two numerical schemes which can be used to solve the incompressible time-dependent Navier-Stokes equations. The schemes were derived by modifying slightly others, due to R. Glowinski, for which convergence had not still been proven. At a first stage, alternating direction time-discretization methods of Peaceman-Rachford and Strang types have been introduced. This reduces the task to the solution of a sequence of (stationary) elliptic subproblems, some of them linear (quasi-Stokes problems) and some quasilinear. Then, these are solved using FEMs for the nonlinear sub-problems, it is appropiate to introduce a least-squares reformulation). Under certain specific stability conditions, we establish a convergence result for the computed solutions. This justifies rigorously the fact that Glowinski's methods have provided excellent numerical results.