Bifurcaciones transcríticas y ciclos límites en un modelo dinámico de competición entre dos especies. Una aplicación a la pesquería de engraulis encrasicholus de la Región Suratlántica española

Abstract

Proponemos en este trabajo la utilización de la teoría matemática sobre bifurcaciones locales en el análisis de los sistemas dinámicos con aplicación a la pesca, como herramienta importante que revela interesantes comportamientos de las trayectorias del sistema. A grandes rasgos, dado un sistema dinámico que modelice el comportamiento de ciertas variables por ejemplo económicas, biológicas, físicas, etc., la teoría de las bifurca- ciones locales estudia para qué valores de los parámetros del sistema se producen cambios cualitativos impor- tantes en la dinámica del mismo. Por cambios cualitativos importantes entenderemos cualquier variación que afecte al número y/o a la estabilidad de los equilibrios estacionarios del sistema o a la aparición de nuevas órbitas cerradas con comportamiento oscilatorio de las que denominamos ciclos límites. Consideramos para su estudio un modelo de competición entre dos poblaciones de peces, una de las cuales es sometida a explotación. Se realiza en primer lugar un estudio cualitativo de las condiciones necesarias y/o suficientes para la existencia y estabilidad de los puntos de equilibrios del sistema, para pasar en segundo lugar a la detección de bifurcacio- nes transcríticas, relacionadas con el intercambio de estabilidad entre dos de dichos equilibrios, conforme un parámetro del sistema varía. A continuación se lleva a cabo la detección de bifurcaciones de Hopf, las cuales determinan la aparición de ciclos límites. Finalmente se presenta un ejemplo numérico donde se aplican los resultados a la pesquería de boquerón del litoral Suratlántico español bajo el supuesto de una interacción en forma de competición con la caballa, presente también en dicha zona costera.

This paper deals with some aspects of the Theory of Dynamical Systems applied to a dynamic reaction model in the form of competition between two species. First, changes in the number and/or the stability of the stationary states are analysed, according to variations of one parameter of the system. Secondly, we carry out a continuation study of fold and Hopf bifurcations. Finally, a numerical example is presented where results are applied to the anchovy fishery in the Spanish South-Atlantic Region on the support of an existing competition with the chup mackerel