Resultados teóricos y numéricos de control para EDPs lineales y no lineales

Abstract

En esta Tesis presentamos resultados teóricos y numéricos de control para EDPs lineales y no lineales. Primeramente, en el Capítulo 2, analizamos el control nulo local del modelo de Burgers-α. El estado es una solución de una ecuación de Burgers regularizada, donde el ́ termino de transporte es de la forma zyx, z = (Id − α 2 ∂ 2 ∂x2 ) −1y y α > 0 es un parámetro pequeño. También probamos algunos resultados sobre el comportamiento de los controles nulos y estados asociados cuando α → 0 +. En segundo lugar, en el Capítulo 3, nos preocupamos por el control distribuido y frontera del llamado modelo de Leray-α. Probamos que las ecuaciones de Leray-α son controlables a cero localmente, con controles acotados independientemente de α. También probamos que, si los datos iniciales son suficientemente pequeños, los controles convergen cuando α → 0 + a un control nulo de las ecuaciones de Navier-Stokes. Después, en el Capítulo 4, estudiamos el control frontera de fluidos incompresibles no viscosos para los que los efectos térmicos son importantes. Establecemos simultáneamente la controlabilidad exacta global del campo de velocidades y de la temperatura para flujos 2D y 3D. Cuando el coeficiente de difusión de calor es positivo, pre- ́ sentamos algunos resultados adicionales sobre la controlabilidad exacta para el campo de velocidades y control nulo local de la temperatura. En el Capítulo 5, nos preocupamos por el cálculo numérico de los controles nulos para la ecuación del calor lineal. La idea principal es minimizar sobre la clase de ́ controles nulos admisibles un funcional promediado que involucra solo el control. Las condiciones de optimalidad del problema se reformulan como una ecuación variacional mixta que hacen aparecer tanto al estado como a su adjunto. Probamos el buen planteamiento de la formulación mixta y luego discutimos varios experimentos numéricos. Finalmente, el Capítulo 6 trata de algunas estrategias diseñadas para resolver numéricamente el problema de control nulo para las ecuaciones bidimensionales del calor y Stokes y el problema de control local exacto a trayectorias para las ecuaciones de NavierStokes. La idea principal es minimizar sobre la clase de controles nulos admisibles un funcional que contiene integrales promediadas del estado y del control, con pesos que explotan cerca del tiempo final. Las condiciones de optimalidad asociadas pueden ser vistas como un sistema diferencial en las variables (x, t) que es de segundo orden en tiempo y cuarto orden en espacio, completado con condiciones de frontera adecuadas. Presentamos varias formulaciones mixtas del sistema y, a continuación, aproximaciones basadas en elementos finitos Lagrangianos apropiados en espacios de funciones C 0 .

This Thesis concerns the theoretical and numerical control of linear and nonlinear PDEs. First, in Chapter 2, we analyze the local null controllability of the Burgers-_ model. The state is the solution to a regularized Burgers equation, where the transport term is of the form zyx, z = (Id − α 2 ∂ 2 ∂x2 ) −1y y α > 0 is a small parameter. We also prove some results concerning the behavior of the null controls and associated states as _ ! 0+. Secondly, in Chapter 3, we deal with the distributed and boundary controllability of the so called Leray-_ model. We prove that the Leray-_ equations are locally null controllable, with controls bounded independently of _. We also prove that, if the initial data are sufficiently small, the controls converge as _ ! 0+ to a null control of the Navier-Stokes equations. Then, in Chapter 4, we study the boundary controllability of inviscid incompressible fluids for which thermal effects are important. We establish the simultaneous global exact controllability of the velocity field and the temperature for 2D and 3D flows. When the diffusion coefficient in the heat equation is positive, we present some additional results concerning the exact controllability of the velocity field and the local null controllability of the temperature. In Chapter 5, we deal with the numerical computation of null controls for the linear heat equation. The main idea is to minimize, over the class of admissible null controls, a quadratic weighted functional that involves only the control. The optimality conditions of the problem are reformulated as a mixed formulation involving both the state and its adjoint. We prove the well-posedness of the mixed formulation and, then, we discuss several numerical experiments. Finally, Chapter 6 deals with some strategies designed to solve numerically the null controllability problem for the two-dimensional heat and Stokes equations and the problem of local exact controllability to the trajectories of the Navier-Stokes equations. The main idea is to minimize over the class of admissible null controls a functional that involves weighted integrals of the state and the control, with weights that blow up near the final time. The associated optimality conditions can be viewed as a differential system in the variables (x; t) that is second–order in time and fourth–order in space, completed with appropriate boundary conditions. We present several mixed formulations of the problems and, then, appropriate mixed finite element approximations that rely on Lagrangian C0 spaces.