Operadores universales y subespacios invariantes

Abstract

The Invariant Subspace Problem is one of the most studied problems on Operator Theory in the last decades. In fact, it is still open in the Hilbert space setting. The purpose of this work is to present the most classic results concerning this problem and to study the approach based on universal operators. The text is organized as follows: In the first chapter we introduce the theory Banach algebras, focusing on spectral theory and Gelfand transform, two tools that will be fundamental in the development of the text. In the second chapter we provide a classical view of the invariant subspace problem in Hilbert spaces. We show two of the most important results on the existence of hyperinvariant subspaces: Lomonosov theorem and spectral theorem for normal operators. In the third chapter we study the tools to calculate invariant subspaces lattices for some classical operators, emphasizing on the need to use models to characterize these lattices. In chapter four we introduce the universal operators and we prove that the characterization of the invariant subspaces lattice of the hyperbolic automorphism composition operator in H2 would solve the invariant subspace problem. Finally, in chapter five we present the closest result to date: the characterization of the lattice of the parabolic nonautomorphism composition operator in H2.

El Problema del Subespacio Invariante es uno de los problemas más estudiados en Teoría de Operadores en las últimas décadas. De hecho, sigue abierto para operadores definidos en espacios de Hilbert. El objetivo de este trabajo es presentar los resultados más clásicos en este problema y estudiar el enfoque basado en los operadores universales. El trabajo está organizado como sigue: En el primer capítulo, introducimos la teoría de álgebras de Banach, haciendo hincapié en la teoría espectral y en la transformada de Gelfand, dos herramientas que serán dos elementos fundamentales en el desarrollo del texto. En el capítulo segundo proporcionamos una visión clásica del problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert. Demostramos dos de los resultados más importantes de existencia de subespacios hıperinvariantes: el teorema de Lomonosov y el teorema espectral para operadores normales. En el tercer capítulo, estudiamos las herramientas para calcular los retículos de subespacios invariantes de algunos operadores clásicos, enfatizando la necesidad del uso de modelos para caracterizar dichos retículos. En el capítulo cuarto introducimos los operadores universales y probamos que la caracterización del retículo de subespacios invariantes del operador de composición hiperbólico automorfismo en H2 resolvería el problema del subespacio invariante. Finalmente, en el quinto capítulo presentamos el resultado más cercano hasta la fecha: la caracterización del retículo del operador de composición parabólico no automorfismo en H2.