Estudio de transiciones de fase cuánticas en el modelo de Rabi

Abstract

El objetivo de este trabajo es realizar un estudio sobre las transiciones de fase cuánticas que se presentan en el modelo de Rabi, un modelo de interacción radiación-materia entre un átomo de dos niveles y un campo bosónico. Presentaremos y analizaremos su hamiltoniano para, a partir del mismo, caracterizar las transiciones de fase cuánticas que afectan tanto al estado fundamental como a los estados excitados del sistema. Primero analizaremos la transición en el estado fundamental, realizando el estudio cuántico mediante cálculos numéricos y luego haciendo un estudio analítico dentro de una aproximación semiclásica. Ello nos permitirá comparar los resultados y comprobar la validez de esta aproximación. Después, analizaremos la transición en los estados excitados, comparando de nuevo el estudio analítico con los cálculos numéricos, exactos. Veremos que la transición de fase en el estado fundamental se debe al cambio del potencial que observa el sistema, causando la rotura de la simetría de dicho estado. Por otro lado, comprobaremos que la transición en los estados excitados solo puede ocurrir cuando ya se ha dado la transición en el estado fundamental, y veremos que se caracteriza por la degeneración en niveles de energía inferiores a cierto valor crítico. En todos los casos, comprobaremos que los cálculos semiclásicos y los exactos coinciden cuando el cociente entre las energías que caracterizan al átomo y al campo bosónico tiene un valor grande comparado con 1. Para conseguirlo, hemos desarrollado desde cero diversos códigos MATLAB con el objetivo de poder realizar los cálculos necesarios para caracterizar las transiciones. En concreto, para estudiar la transición de fase en el estado fundamental, hemos desarrollado un código que permite obtener la energía del estado fundamental del sistema y otro que permite calcular, para dicho estado, el valor esperado del número de fotones y de σz, observables que se discutirán en el texto. También hemos creado un código que muestra la forma del potencial que afecta al sistema en su estado fundamental. Del mismo modo, al estudiar la transición en los estados excitados, hemos creado un código que obtiene todos los niveles de energía del sistema, con el objetivo de calcular numéricamente la densidad de estados. Otro código permite comparar este cálculo con la expresión analítica que obtendremos de la densidad de estados, y otro último calcula el valor de σz en todos los estados del sistema. Por último, dos códigos nos permitirán crear imágenes que sirvan para ilustrar lo que sucede en las transiciones; el primero de ellos representa la forma del potencial que afecta al sistema en diversas situaciones; el segundo estudia la variación de los diez primeros niveles energéticos del sistema. Todo esto se desarrolla en el trabajo. Los códigos pueden consultarse en el apéndice.

In this work, we carry out a study of the quantum phase transitions present in the Rabi model, a radiation-matter interaction model between a two-level atom and a bosonic field. We will present and analyze its Hamiltonian in order to, from it, characterize the quantum phase transitions that affect both the ground state and the excited states of the system. First we will analyze the transition in the ground state, performing the quantum study by means of numerical calculations and then making an analytical study within a semiclassical approach. This will allow us to compare the results and check the validity of this approach. Next, we will analyze the transition in the excited states, comparing again the analytical study with the numerical, exact calculations. We will see that the phase transition in the ground state is due to the change in the potential that the system observes, causing the symmetry of that state to break. On the other hand, we will verify that the transition in the excited states can only occur when the transition in the ground state has already taken place, and we will see that it is characterized by the degeneration in energy levels lower than a certain critical value. In all cases, we will verify that the semiclassical results and the exact calculations coincide when the quotient between the energies that characterize the atom and the bosonic field has a large value compared to 1. To perform this task, we have developed from scratch various MATLAB codes in order to perform the necessary calculations to characterize the transitions. Specifically, to study the phase transition in the ground state, we have developed a code that allows us to obtain the energy of the ground state of the system and another that allows us to calculate, for this state, the expected value of the number of photons and σz, observables that will be discussed in the text. We have also created a code that shows the shape of the potential that affects the system in its ground state. In the same way, when studying the transition in the excited states, we have created a code that obtains all the energy levels of the system, with the objective of numerically calculating the density of states. Another code allows comparing this calculation with the analytical expression that we will obtain from the density of states, and another last one calculates the value of σz in all the states of the system. Finally, two codes will allow us to create images that serve to illustrate what happens in transitions; the first one represents the form of the potential that affects the system in different situations; the second one studies the variation of the first ten energy levels of the system. All this will be adressed in the work. The codes can be found in the appendix.