Representaciones de Quivers

Abstract

Una representación de un quiver es una colección de espacios vectoriales y aplicaciones lineales indexadas por un grafo dirigido: el quiver. En este trabajo damos una introducción a la teoría de representaciones de quivers desarrollando las técnicas básicas que permiten dar una prueba del Teorema de Gabriel [Gab72]: Un quiver conexo es de tipo finito si y sólo si su grafo subyacente es un diagrama de Dynkin. Este sorprendente teorema tiene una segunda parte en donde se relacionan las clases de isomorfía de representaciones indescomponibles con el sistema de raíces del grafo subyacente en el quiver. A lo largo de este proyecto, estudiaremos la categoría de representaciones de quivers mediante un enfoque algebraico, viendo las representaciones como módulos y utilizando herramientas de álgebra homológica, pero también desde un punto de vista geométrico, definiendo las variedades de quivers y estudiando los correspondientes sistemas de raíces.

A quiver representation is a collection of vector spaces and linear maps indexed by a directed graph: the quiver. In this paper we intend to give an introduction to the theory of quiver representations developing basic techniques that allow us to give a proof of Gabriel’s Theorem [Gab72]: A connected quiver is of finite type if and only if its underlying graph is a Dynkin diagram. This surprising theorem has a second part which links isomorphism classes of indecomposable representations of a given quiver with the root system of the graph underlying such a quiver. Throughout this project, we study the category of quiver representations from an algebraic approach, viewing representations as modules and using tools from homological algebra, but also from a geometrical point of view, defining quiver varieties and studying the corresponding root systems.