Propiedades de las ondas de gravitación en Relatividad General

Abstract

En este trabajo vamos a hacer un estudio de las ondas gravitacionales, dentro del marco de la Relatividad General. Esta teoría es la generalización del Principio de la Relatividad aplicado a los campos gravitacionales. La teoría formulada está basada en el principio de equivalencia, que postula que un observador no inercial no puede realizar ningún experimento que le permita discernir si está en el seno de un campo gravitacional o si su sistema está acelerado respecto a un marco externo inercial. En este contexto, Einstein postula que la gravitación no es una fuerza, sino que es un efecto puramante geométrico: es la consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo provocada por la presencia de un cuerpo masivo. Se ha hecho una división en cuatro capítulos, yendo desde la presentación de las herramientas matemáticas necesarias a una aplicación de estas para estudiar el espacio-tiempo. En el primer capítulo nos centraremos en definir los elementos básicos como los vectores, los tensores y las variedades, así como la notación característica para representarlos y sus propiedades. Empezaremos hablando del espacio euclídeo, que es plano, y al final acabaremos particularizando algunas de sus propiedades para espacios no euclídeos y pseudoriemannianos, ya que, debido a las contracciones que se producen en el espacio y en el tiempo cuando viajamos a velocidades cercanas a las de la luz, estos se curvan, y tendremos que tratar con sistemas así para poder estudiar la Relatividad General. En el segundo capítulo hablaremos de algunos conceptos importantes de espacios curvados como son las geodésicas, ya que nos ayudarán a entender la manera de la que se desplaza la luz por el Universo. Esto llevará a la definición del transporte paralelo y de dos formas diferentes de derivar en espacios curvados como son la derivada absoluta y la covariante, que sustituirán a la derivada a lo largo de curvas y a la derivada parcial respectivamente. Después veremos cómo podemos definir sistemas de coordenadas cartesianos en regiones locales y pequeñas. Con todo esto ya podremos hacer un primer acercamiento al espacio-tiempo en la Relatividad General, siendo así capaces de dar una aproximación del valor del potencial gravitatorio para velocidades mucho más pequeñas que la de la luz. En el tercer capítulo obtendremos las ecuaciones de campo de Einstein, aunque para ello primero tendremos que definir un par de tensores importantes. También veremos cómo podemos obtener la ecuación de Poisson a partir de las de Einstein como una aproximación en el límite newtoniano cuando las velocidades no son muy altas. Terminaremos el tema obteniendo la solución que propuso Schwarzschild de estas ecuaciones con las hipótesis en las que se basó. Finalmente, en el cuarto capítulo haremos una aproximación de primer orden de estas ecuaciones de campo para linealizarlas y obtener así una ecuación de ondas, a partir de la cual podemos deducir la existencia de las ondas de gravitación. Se hablará de las simplificaciones a efectuar y de las ondas planas que se obtienen como solución, dando una expresión aproximada. También hablaremos del experimento en el que se descubrieron y los avances que se espera poder hacer con estos experimentos y su estudio.

In this report we are going to study a classical topic of the General Relativity: the existence of gravitational waves. To this purpose, first of all we will introduce all the mathemathical tools needed: vectors, tensors and manifolds, and non-Euclidean spaces will be defined also. Secondly, geodesics will be defined as well as two types of derivation in curved spaces: the absolute derivative and the covariant derivative. Once these mathematical tools are well established, we will be able to give an approximation to the value of the gravitatory potential in the context of weak gravitational fields. Einstein field equations will be postulated as made in the original publication, and the solution proposed by Schwarzschild will be derived. Finally, assuming some reasonable approximations, the field equations will be linearized to obtain a wave equation, a theoretical demand of the existence of gravitational waves. The report will conclude with some ideas about the experimental observation and the consequences of this fact.