Leyes de reciprocidad (cuatro demostraciones de la Ley de Reciprocidad Cuadrática)

Abstract

A lo largo del siguiente trabajo vamos a profundizar en los contenidos impartidos en la asignatura Estructuras Algebraicas para explicar la Ley de Reciprocidad Cuadrática así como sus aplicaciones para la Teoría Algebraica de Números. Además existen otras Leyes de Reciprocidad como la Leyes de Reciprocidad Cúica, Bicuadrática, de Einsentein,... entre otras, las cuales no estudiaremos en nuestro trabajo por falta de espacio. Durante el primer capítulo se explicarán conceptos acerca de la estructura de grupo de U(Z/Zn) así como el concepto de residuos de la n-ésima potencia para averiguar para qué primos p se puede resolver la congruencia x n ≡ a (p) dado un a fijo. En el resto de nuestro trabajo se dividirá en cuatro capítulos. En cada uno de ellos se dará una demostración la Ley de Reciprocidad Cuadrática (de las muchas que existen) usando en cada uno herramientas distintas: El segundo capítulo, además de enunciarla, hará uso de los residuos cuadráticos definiendo el concepto del símbolo de Legendre y posteriormente su generalización, el símbolo de Jacobi. En el tercer capítulo haremos uso del concepto de las sumas cuadráticas de Gauss, definiendo para ello los números algebraicos y los enteros algebraicos y estudiando las propiedades que cumplen, necesarias para llevar a cabo la demostración. El cuarto capítulo pasa a un enfoque completamente diferente usando para ello los cuerpos finitos así como sus propiedades y la existencia de un cuerpo con p n elementos para todo p primo y para todo n natural. En el quinto y último capítulo de este trabajo volvemos a lo usado en el tercer capítulo y extendemos las sumas de Gauss a las conocidas como sumas de Jacobi para las cuales es necesario definir el concepto de carácter multiplicativo. Estas sumas, además de ser más potentes y complejas, tienen la ventaja de que se pueden usar para demostrar reciprocidades de orden superior. El origen de este trabajo viene del proyecto como alumno interno del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla realizado en el curso académico anterior cuyo tema principal fue el Algoritmo de Shanks, el cual, aunque es probabilístico, es muy eficiente. Consiste en, dados un primo impar p y entero a, encontrar un ńumero x (si existe) tal que x 2 ≡ a (p). Para ello, primero calculamos el número impar q que cumple que p − 1 = 2e · q y, por otro lado, elegimos aleatoriamente un número n tal que n p = −1 (lo cual tiene una probabilidad cercana a 1 2 , por lo que se obtendrá algún n satisfactorio tras pocos intentos). Con esos datos, se inicia un proceso iterativo, el cual es finito, pudiendo acabar o bien dando un valor para x o bien diciendo que a no es un residuo cuadrático módulo p. En este trabajo se usaron las referencias bibliográficas [1], [2], [5] y [7]. Este proyecto, sin embargo, se basa en gran medida en la referencia [4] aunque se apoya también en las referencias [3] y [6]. Por otro lado, esta memoria forma parte de uno más grande que tratará sobre las Leyes de Reciprocidad de órdenes superiores y que se realizó como proyecto de becario de colaboración y alumno interno para el Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla para el curso académico actual. Ambos formarán un trabajo completo y extenso sobre las Leyes de Reciprocidad. Dicho proyecto complementario se dividirá en dos capítulos explicando en cada uno las Leyes de Reciprocidad Cúbica y Bicuadrática, respectivamente: En el primer capítulo definiremos al anillo Z[ω] haciendo uso de las raíces cúbicas de la unidad y del símbolo residual cúbico (análogo a los símbolo de Legendre y Jacobi visto en capítulos anteriores). Realizaremos dos demostraciones: una análoga a la del tercer capítulo y la otra a la del quinto capítulo, haciendo uso de las sumas de Gauss y de Jacobi cúbicas para demostrar la Ley de Reciprocidad Cúbica. El segundo capítulo se centrará en la Ley de Reciprocidad Bicuadrática debiendo definir, análogamente al apartado anterior, el anillo Z[i], también conocidos como enteros gaussianos además del correspondiente símbolo residual cuártico para poder llegar a la demostración satisfactoriamente.

Along this project we are going to delve into the concepts introduced in the course Algebraic Structures in order to explain the Law of Quadratic Reciprocity as well as its applications in Algebraic Number Theory. Furthermore, there are others Laws of Reciprocity as the Cubic, Biquadratic, Einsentein Reciprocity Law among others, which will not be treated in this project due to lack of space. At the first chapter we are going to explain the structure of U(Z/Zn) as well as the notion of nth power residues in order to solve for which primes p the congruence x n ≡ a (p) is solvable for some fixed a ∈ Z. The rest of our project will split up in four chapters. In each of them we will give a proof of the Law of Quadratic Reciprocity (among all those that exist) using differents tools in each of them: The second chapter makes use of the quadratic residues defining the concept of the Legendre symbol and its generalization, the Jacobi symbol. At the third chapter we make use of the notion of quadratic Gauss sums, defining concepts such as algebraic numbers and algebraic integers. The fourth chapter changes to a completely different point of view using finite fields. We prove the existence of a field of p n elements for all primes p and for all natural n. At the fifth and last chapter of this project we return to the third chapter’s topics, and we extend the Gauss sums to the well-known Jacobi sums, for which is necessary to define the concept of multiplicative character. Not only these sums are more powerful and trickier, but they have the advantage that they can be really useful to show reciprocities of higher order. The origin of this disertation comes from the project as intern student for the Department of Algebra of the University of Sevilla in the former academic year whose subject was Shanks’ Algorithm, which is very efficient even though it is probabilistic,. It consists of, given an odd prime p and an integer a, finding a number x (if it exists) such that x 2 ≡ a (p). For that, first we have to calculate a odd number q such that p − 1 = 2e · q and, additionally, we choose randomly a number n such that n p = −1 (whose probability is almost 1 2 , so we can find one after a few tries). With these data, we initialize an iterative process, which is finite, because it gives a value for x or saying that a is a non-residue quadratic modulo p. In this project we used the bibliographic references [1], [2], [5] and [7]. The current project, however, is mainly based on the reference [4] although it is supported also on the references [3] and [6]. On the other hand, this memoir is part of another bigger one which addresses the Laws of Reciprocity of higher orders which was undertaken as an intern student for the Department of Algebra of the University of Sevilla for the current academic year. Both take part of complete and extensive project about Laws of Reciprocity. That complementary work is composed of two chapters, explaining the Law of Cubic and Biquadratic Reciprocity, respectively: At the first chapter we define the ring Z[ω] making use of the cubic roots of the unity and the cubic residue symbol (analogous to the Legendre and Jacobi symbol we have seen in previous chapters). It contains two proofs: one similar to the one we have seen in the third and fifth chapters of the main project, making use of the cubic Gauss and Jacobi sums in order to prove the Law of Cubic Reciprocity. The second chapter we focus on the Law of Biquadratic Reciprocity, for which we have to define the ring Z[i] which is well-known as the Gaussian integers, in addition to the corresponding quartic residue symbol in order to achieve the proof satisfactorily.