Global regularity for incompressible fluid interfaces.

Abstract

Esta memoria esta dedicada al estudio de tres problemas de frontera libre dadas por interfases entre fluidos incompresibles: parche de temperatura en Boussinesq, parche de densidad en Navier-Stokes y el problema de Muskat. Estos problemas proceden de diferentes sistemas físicos cuya evolucion puede describirse mediante ecuaciones en derivadas parciales parabolicas no lineales y no locales. El trabajo se centra en propiedades cualitativas de las soluciones, tales como ill-posedness o regularidad de la interfase para todo tiempo. Las ecuaciones de Boussinesq son ampliamente usadas como una adecuada aproximacion del movimiento de fluidos en fenomenos de conveccion natural. En estos procesos, el movimiento fluido se debe a la accion de la gravedad sobre variaciones de densidad inducidas por cambios de temperatura, sin agentes externos del movimiento. La aproximacion de Boussinesq resalta este hecho al asumir constante la densidad en todos los terminos salvo el de gravedad. Desde el punto de vista matematico, el mayor interes radica en la conexion entre el sistema de Boussinesq bidimensional y las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes en tres dimensiones. En contraste con estas ultimas en el plano, donde la ecuacion de la vorticidad no presenta termino cuadratico, Boussinesq 2d consigue capturar el fenomeno de vortex stretching. Al igual que en las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes en 3d, la regularidad para todo tiempo de las ecuaciones de Boussinesq en dos dimensiones sin viscosidad ni difusividad termica sigue siendo un destacable problema abierto. De hecho, en ese caso, las ecuaciones de Boussinesq pueden identi carse formalmente con las ecuaciones de Euler 3d en el caso axisimetrico con rotacion, lejos del eje. Si se consideran fluidos viscosos o difusividad termica no nula, entonces en 2d no pueden producirse singularida es en tiempo nito partiendo de soluciones con energía nita. En el segundo capítulo, se consideran las ecuaciones de Boussinesq, con viscosidad pero sin difusin, para dato inicial de tipo parche. Es decir, la temperatura inicial esta dada por la funcion característica de un dominio acotado. Desde el remarcable resultado de regularidad global para el parche de vorticidad en Euler 2d, se han producido numerosos trabajos sobre soluciones tipo parche en distintos modelos. En particular, se ha encontrado evidencia numerica de colapso puntual al mismo tiempo que la curvatura se hace in nita en el sistema surface-quasi-geostro co. En ambos problemas, una cantidad escalar, la temparatura, es transportada por un campo de velocidad de nido a su vez a traves de aquella. No obstante, se mostrar a que la curvatura de un parche de temperatura en Boussinesq no puede hacerse in nita en tiempo nito. Ademas, se probaran resultados analogos mostrando que la frontera de los parches mantiene su regularidad inicial, medida en espacios de H older, para todo tiempo. Para los casos de baja regularidad, se har uso de la estructura parabolica del modelo aplicando resultados de maxima regularidad para la ecuacion del calor. A partir de estos, una nueva cancelacion, encontrada en los operadores integrales singulares de tipo parabolico dados por las segundas derivadas de los nucleos del calor y su combinacion con transformadas de Riesz, permitira lograr el control de la curvatura. Avanzando aun mas, se aprovechara la regularidad adicional de la velocidad en la direccion tangencial al parche para propagar interfases mas regulares. Las ecuaciones de Navier-Stokes no homogeneas modelan flujos incompresibles de uidos con densidad variable. Son ampliamente usadas, por ejemplo, en dinamica oceanica. Sirven también para describir un sistema de dos o mas líquidos inmiscibles. Matematicamente, la teoría de soluciones fuertes para Navier-Stokes inhomogeneo esta aun incompleta incluso para el caso bidimensional, mientras que en tres dimesiones abarcan el conocido problema del Milenio. Anque la existencia globalmente en tiempo de soluciones débiles con energía nita se conoce desde hace tiempo, hasta hace muy poco la teoría de soluciones fuertes requera, o bien densidad inicial positiva y al menos continua, o bien densidad inicial regular. Unicamente en los ultimos aos estas restricciones se han superado parcialmente. En su libro de 1996, P.-L. Lions propuso el llamado problema del parche de densidad: suponiendo que la densidad inicial esta dada por un parche, la pregunta es si este se propaga con la velocidad, manteniendo su frontera la misma regularidad que la interfase inicial. La teoría de soluciones renormalizadas de Di Perna y Lions garantiza que la evolucion del parche conserva el volumen, pero no aporta informacion sobre la regularidad de la frontera. En el capítulo tercero, se da un respuesta positiva para el caso en el que la interfase inicial entre los líquidos tiene vector tangente bien definido y con regularidad H older. Se admite cualquier salto de densidad y cualquier tamao de la velocidad inicial. Ademas, la estrategia de la prueba permite tratar el caso límite de dos derivadas, dando as control sobre la curvatura del parche. El parche evoluciona de acuerdo a una ecuacion de transporte, dada por la conservacion de la masa. Para propagar regularidad del mismo, hace falta primero obtener una ganancia de regularidad para la velocidad. Como la densidad esta dada por una funcion salto, y por tanto de baja regularidad, el acoplamiento quasilineal entre la densidad y la velocidad hace que la ganancia parabolica de regularidad sea difícil de conseguir por metodos estandares. Así, el uso de estimaciones de energía con pesos en tiempo y la mayor regularidad de la derivada convectiva son cruciales en ese paso. Combinando diferentes tecnicas, es posible construir la prueba a pasos, usando los resultados para interfases poco regulares en los de mas alta regularidad. El movimiento de dos fluidos incompresibles e inmiscibles en un medio poroso da lugar a un importante problema de frontera libre conocido como problema de Muskat. Muskat lo planteo en primer lugar, basandose en la ley experimental de Darcy, para modelar el comportamiento del agua a traves de suelos con petroleo en los procesos de bombeo de las industrias petrolíferas. En la aproximacion de Darcy, la velocidad, en lugar de la aceleracion, es proporcional al gradiente de presiones mas las fuerzas externas, tales como la gravedad. Considerando propiedades constantes pero distintas para cada fluido, las ecuaciones de Darcy se reducen a una ecuacion que describe la evolucion de la interfase uida. En el ultimo capítulo, se estudia la existencia, unicidad y regularidad globalmente en tiempo de soluciones en espacios críticos en el regimen estable, es decir, cuando el fluido más denso se encuentra debajo. Se hara considerando tanto densidades como viscosidades distintas para cada fluido, y para pendientes iniciales en la interfase no necesariamente pequeas, sino simplemente acotadas por una constante explícita. Además, se muestra que la interfase se vuelve instantaneamente analítica y se aplana con el tiempo, dando tasas optimas del decaimiento medido en distintas normas. Finalmente, se vería que el caso inestable esta mal propuesto incluso considerando soluciones de muy baja regularidad.