Strongly compact algebras

Abstract

An algebra of bounded linear operators on a Hilbert space is said to be strongly compact if its unit ball is relatively compact in the strong operator topology. A bounded linear operator on a Hilbert space is said to be strongly compact if the algebra generated by the operator and the identity is strongly compact. This notion was introduced by Lomonosov as an approach to the invariant subspace problem for essentially normal operators. First of all, some basic properties of strongly compact algebras are established. Next, a characterization of strongly compact normal operators is provided in terms of their spectral representation, and some applications are given. Finally, necessary and sufficient conditions for a weighted shift to be strongly compact are obtained in terms of the sliding products of its weights, and further applications are derived.

Un álgebra de operadores lineales en un espacio de Hilbert se dice que es fuertemente compacta si su bola unidad es relativamente compacta en la topología fuerte de operadores. Un operador lineal y continuo en un espacio de Hilbert es fuertemente compacto si el algebra generada por el operador y la identidad es fuertemente compacta. Esta noción fue introducida por Lomonosov para estudiar el problema del subespacio invariante para operadores esencialmente normales. En primer lugar, se establecen algunas propiedades básicas de las álgebras fuertemente compactas. Se proporciona después una caracterizacion de los operadores normales fuertemente compactos en términos de su representación espectral y se dan algunas aplicaciones. Finalmente, se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que un desplazamiento ponderado sea fuertemente compacto en términos de los productos deslizados de sus pesos. Se proporcionan algunas otras aplicaciones.