Una simplificación del método de Laplace y aplicaciones

Abstract

Multitud de funciones especiales de la física aparecen en problemas de mecánica cuántica como solución de ciertas ecuaciones diferenciales. Muchas de estas funciones admiten una representación integral de la forma F(x) ≡ Z b a e −x f(t) g(t) dt, donde x representa alg´un parámetro físico de la teoría en consideración. La evaluación de estas integrales no resulta sencilla en general, pero en muchas ocasiones, ese parámetro x toma valores elevados. Por ello, resulta interesante disponer de métodos de evaluación aproximada de este tipo de integrales para valores grandes de la variable x. El método más utilizado es el de Laplace. La principal dificultad en dicho método para la obtenci´on de desarrollos asintóticos de este tipo de integrales la origina un cambio de variable. Para suavizar esto, proponemos una factorización del integrando que evita dicho cambio de variable, simplificando enormemente las operaciones. Por un lado, el cálculo de los coeficientes del desarrollo asintótico es muy sencillo. Por otro lado, la secuencia asintótica obtenida con nuestro método es tan sencilla como en el método estándar de Laplace: funciones gamma completas o incompletas. Además, obtenemos una fórmula explícita para los coeficientes de dicho desarrollo, a diferencia de lo que sucede en el método de Laplace, donde rara vez es posible obtener fórmulas explícitas. Más todavía, mediante una reagrupación de términos podemos obtener fórmulas explícitas para los coeficientes del desarrollo de Laplace estándar.