Sobre el método de Godunov para sistemas hiperbólicos no conservativos

Abstract

En este trabajo se aborda la aproximación numérica del problema de Cauchy para sistemas hiperbólicos no conservativos en dimensión uno. El concepto de solución débil de dichos sistemas se define utilizando la teoría de Dal Maso, Le Floch y Murat, basada en la elección de una familia de caminos en el espacio de estados. En primer lugar, establecemos hipótesis para la elección de esta familia de caminos y estudiamos sus implicaciones, en particular, la obtención de una expresión del método de Godunov que generaliza su expresión clásica para sistemas de leyes de conservación. A continuación se estudian las propiedades de buen equilibrado de estos métodos. Finalmente, probamos la consistencia del esquema numérico obtenido con la definición de soluciones débiles. En concreto, probamos que, bajo la hipótesis de variación total acotada, si las aproximaciones obtenidas mediante un método de Godunov basado en una familia de caminos converge uniformemente a alguna función cuando la malla se refina, entonces esta función es una solución débil del sistema no conservativo, relativa a esa familia de caminos. Este resultado se extiende a los esquemas numéricos basados en Resolvedores de Riemann Aproximados.