Serie de Chebyshev para un operador Schrödinger 1-D ergódico

Abstract

Las autofunciones {Ψn(ǫ)} (n ∈ Z +) de algunos operadores Schrödinger unidimensionales, de interés tanto académico como tecnológico, tienen una representación en forma de ecuación en diferencias lineal de segundo orden conocida como ecuación de Harper. La dificultad del análisis del espectro de estos operadores en el caso ergódico y la producción científica que ha generado puede consultarse en [9] J. Puig, Cantor Spectrum for the Almost Mathieu Operator, Comm. Math. Phys. 244(2):297-309, 2004. Con las condiciones iniciales adecuadas, se puede asociar a este tipo de operador una familia {Ψn(ǫ)} de autofunciones en forma de polinomios mónicos ortonormales. En [1] J.C. Abderramán, Chebyshev expansion for the eigenfunctions of the almost Mathieu operator, 6th Int. Congress on Industrial and Applied Math. ICIAM07, Zurich, 2007. se usan las propiedades algebraicas de los polinomios de Chebyshev de primera clase en la familia ortonormal de autofunciones, para separar variables y obtener para cada Ψn(ǫ) una expansión en serie de {Tk(ω)}. Los coeficientes de la serie {a (n) k (ǫ, λ)} se obtienen de forma recurrente y la energía ǫ depende de aquellos. En este trabajo se obtienen las matrices de transferencia entre los vectores de coeficientes y se comenta brevemente las propiedades del espectro y de las soluciones según valores de θ.