dc.contributor.advisor | Chacón Rebollo, Tomás | es |
dc.contributor.advisor | Fernández García, Soledad | es |
dc.contributor.advisor | Gómez Mármol, María Macarena | es |
dc.creator | Bandera Moreno, Alejandro | es |
dc.date.accessioned | 2024-05-14T09:01:01Z | |
dc.date.available | 2024-05-14T09:01:01Z | |
dc.date.issued | 2024-03-08 | |
dc.identifier.citation | Bandera Moreno, A. (2024). Some applications of reduced order modelling to slow-fast dynamical systems, turbulence models and elliptic PDEs. (Tesis Doctoral Inédita). Universidad de Sevilla, Sevilla. | |
dc.identifier.uri | https://hdl.handle.net/11441/158263 | |
dc.description.abstract | En las últimas décadas, el progreso tecnológico ha elevado el rol de las simulaciones
numéricas a ser una herramienta fundamental en la mayoría de ciencias y aplicaciones
tecnológicas. Para ser más exactos, las simulaciones basadas en modelos apoyados en
ecuaciones diferenciales adquieren un papel crítico debido a su diversidad de aplicaciones,
que cubren desde ingeniería hasta economía, incluyendo áreas tan importantes
como la medicina. Estas simulaciones sirven de plataformas virtuales que permiten
la realización de experimentos, contribuyendo enormemente a la comprensión de
diversas propiedades de los sistemas y sus dinámicas.
Sin embargo, trabajar con los sistemas altamente complejos necesarios para aplicaciones
realistas y efectivas supone un reto significante. Tales sistemas normalmente
tienen asociadas decenas de miles o millones de grados de libertad, haciendo su
resolución numérica prohibitivamente cara si se utilizan métodos convencionales. Esta
complejidad requiere recursos computacionales extensos, necesitando horas o incluso
días de computación, junto a Computación de Alto Rendimiento o arquitecturas informáticas
específicas. Esto representa un gran problema, especialmente cuando se
necesita una simulación en tiempo real o interactiva, o cuando se consideran múltiples
valores de los parámetros, por ejemplo, en la asistencia en los procesos de toma de
decisiones o diseño industrial.
Esta tesis doctoral tiene como propósito abordar el reto de los altos costes computacionales
asociados con los modelos realistas, y es en este punto donde el concepto
de Modelado de Orden Reducido (ROM, por sus siglas en inglés) entra en juego. La
filosofía subyacente en este campo recae en reemplazar el costoso problema original
por uno alternativo, computacionalmente eficiente, que mantenga las propiedades
cualitativas y cuantitativas esenciales de la solución original. En general, el uso de
las técnicas ROM está motivado por la necesidad de mantener un balance entre la
precisión y la eficiencia computacional en varias aplicaciones, permitiendo el análisis y
la manipulación de sistemas complejos de una forma más práctica y manejable.
Las principales contribuciones de esta tesis doctoral se enmarcan en tres aplicaciones
diferentes: sistemas dinámicos lento-rápido, modelos de turbulencia y Ecuaciones en
Derivadas Parciales (EDPs) elípticas.
Relativo a la primera, el foco se sitúa en el estudio y simulación de modelos de redes
de actividad neuronal que involucran múltiples escalas de tiempo. Estos modelos
se tratan por medio de un método inédito basado en la Descomposición Ortogonal
Propia, con el objetivo específico de abordar una de las limitaciones que presenta, a
saber, la potencial pérdida de estructura del modelo original. En este caso, la pérdida
de la separación de escalas temporales.
En lo que respecta a los modelos de turbulencia, el énfasis se encuentra en el modelo
de Smagorinsky y el método de Bases Reducidas. Aquí, el objetivo es salvar una limitación
del método relativa al reto de obtener un estimador de error a posteriori basado
en análisis matemático, que depende de la discretización numérica. En particular,
desarrollamos un estimador de error basado en la teoría de cascada de energía de
Kolmogórov.
Por último, relativo a las EDPs elípticas, el objetivo que nos planteamos se centra
en la resolución de EDPs elípticas simétricas y en calcular el mejor subespacio que
aproxima su solución. La investigación gira en torno al método de la Descomposición
Generalizada Propia (PGD), con el propósito de abordar una limitación asociada al
cálculo de los modos PGD óptimos. Específicamente, el propósito es explorar la
posibilidad de calcular directamente estos modos en una variedad de Grassmann,
utilizando el conocido algoritmo del Gradiente Descendente, adaptado a este marco. | es |
dc.description.abstract | In the last decades, the technological progress has elevated the role of numerical
simulations to be a fundamental tool in the majority of sciences and technical applications.
More precisely, simulations based on models that are supported in differential
equations acquire a critical role due to its diversity of applications, that cover from
engineering to economy, and even areas so important as medicine. These simulations
serve as virtual platforms enabling experimental realization, greatly contributing to
the comprehension of diverse system properties and dynamics.
Nevertheless, working with highly complex systems necessary for realistic and effective
applications poses a significant challenge. Such systems usually have associated
ten thousands or millions of degrees of freedom, rendering their numerical solving
prohibitively expensive using conventional methods. This complexity demands extensive
computational resources, sometimes requiring hours or even days of computation
alongside High-Performance Computing or specialized informatics architectures. This
fact represents a major problem, especially when a real-time or interactive simulation
is needed, or when multiple values of the parameters need consideration, such as
assisting decision-making processes or industrial design.
This PhD dissertation aim to address the challenge of the high computational costs
associated with those realistic models, and it is at this point where the concept of
Reduced Order Modelling (ROM) comes into play. The underlying philosophy in this
field lies in replacing the original costly problem with an alternative, computationally
efficient one, that retains essential qualitative and quantitative properties of the original
solution. Overall, the use of ROM techniques is motivated by the need to strike
a balance between accuracy and computational efficiency in various applications,
enabling the analysis and manipulation of complex systems in a more practical and
manageable manner.
The main contributions of this PhD dissertation are encompassed in three different
applications: slow-fast dynamical systems, turbulence models and elliptic Partial
Differential Equations (PDEs).
Concerning the first, the focus lies on studying and simulating network models of
neuronal activity involving multiple timescales. These models are going to be treated
through a novel method based on the Proper Orthogonal Decomposition method, with
a specific goal of addressing one of the limitations that it presents, namely, the potential
loss of structure from the original model. In this case, the lost of the separation of the
timescales.
Regarding turbulence models, the emphasis is placed on the Smagorinsky model
and the Reduced Basis method. Here, the aim is to overcome a limitation of the method
concerning the challenge of obtaining an a posteriori error estimator using mathematical
analysis, which depends on numerical discretization. In particular, we develop an a
posteriori error estimator based upon the Kolmogórov’s energy cascade theory.
Lastly, concerning elliptic PDEs, the goal centers on resolving symmetric elliptic
PDEs and computing the best subspace approximating their solutions. The investigation
revolves around the Proper Generalized Decomposition (PGD) method, aiming to
address a limitation related to the computation of optimal PGD modes. Specifically, the
purpose is to explore the feasibility of directly computing these modes on a Grassmann
manifold, using the known Gradient Descent algorithm, adapted to this framework. | es |
dc.format | application/pdf | es |
dc.format.extent | 204 p. | es |
dc.language.iso | eng | es |
dc.rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internacional | * |
dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ | * |
dc.title | Some applications of reduced order modelling to slow-fast dynamical systems, turbulence models and elliptic PDEs | es |
dc.type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis | es |
dc.type.version | info:eu-repo/semantics/publishedVersion | es |
dc.rights.accessRights | info:eu-repo/semantics/embargoedAccess | es |
dc.contributor.affiliation | Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico | es |
dc.date.embargoEndDate | 2025-03-08 | |