Comportamiento asintótico de fluidos viscosos con condiciones de deslizamiento sobre fronteras rugosas

Abstract

Un problema importante en mecánica de fluidos consiste en la elección adecuada de las condiciones de frontera. Una hipótesis comúnmente aceptada es que si la frontera del dominio es impermeable entonces un fluido viscoso se adhiere completamente a ella. Esta hipótesis se usa habitualmente en diferentes estudios teóricos así como en experimentos numéricos. Suponiendo que u = u(x) es la velocidad del fluido en x ∈ Ω ⊂ R3, la completa adherencia (o condición de no deslizamiento) se escribe u(x) = 0 sobre x ∈ ∂Ω. (1)La hipótesis de completa adherencia no fue siempre aceptada en el pasado ya que la mayoría de los efectos de una frontera rugosa en fluidos viscosos no pueden ser descritos en detalle usando esta condición. Por ello, Navier propuso una condición frontera de desliza-miento con fricción. Suponiendo la frontera impermeable está claro que la componente normal de la velocidad debe ser nula. A esta condición se añade la ecuación correspon¬diente al equlibrio de fuerzas pero escrita solamente para la componente tangencial. Para fluidos gobernados por las ecuaciones de Stokes o de Navier-Stokes la condición de Navier o condición de deslizamiento viene dada por u • ν =0, T(∂u/∂ν − pν + γu)= 0 sobre ∂Ω, (2) donde p es la presión, ν el vector normal unitario exterior a ∂Ω, T la proyección ortogonal sobre el espacio tangente a ∂Ωy γ ≥ 0 es el coeficiente de fricción. Esta condición ofrece más libertad y parece proporcionar soluciones físicamente más aceptables ya que refleja la interacción entre el fluido y la frontera de Ω. Teniendo en cuenta que pν es ortogonal al espacio tangente a ∂Ω, la segunda ecuación de (2) es equivalente a T ( ∂u/∂ν + γu)=0, (3) y por tanto la condición de Navier o condición de deslizamiento se puede también escribir como u • ν =0, ∂u /∂ν + γu proporcional a ν sobre ∂Ω. (4) Ha habido diversos intentos en la literatura de proporcionar una rigurosa justificación de la condición de adherencia. Para ello, suponiendo un fluido gobernado por un sistema de Stokes o de Navier-Stokes en un dominio suficientemente rugoso Ωε, donde el parámetroε corresponde a la amplitud de las rugosidades (como una aproximación oscilante del dominio ideal Ω), y verificando la condición de deslizamiento sobre la frontera rugosa Γε, se puede probar que en el límite cuando ε tiende a cero, la solución satisface la condición de adheren¬cia (1). Es decir, se puede probar que las condiciones de deslizamiento sobre una superficie rugosa se transforman asintóticamente en condiciones de adherencia cuando la amplitud de las rugosidades tienden a cero, suponiendo que la energía de las soluciones está uniforme¬mente acotada y que hay suficiente rugosidad en la frontera oscilante. Desde un punto de vista físico, esto justifica matemáticamente que se suela imponer la condición de adherencia para fluidos viscosos. La anterior afirmación fue probada en [22] para un fluido tridimensional con una frontera descrita por la ecuación x3 = −εΨ (x1/ε, x2/ε) ∀(x1,x2) ∈ ω, (5) donde ω un conjunto abierto acotado de R2 y Ψ una función regular periódica tal que Span({\Ψ(z ): z ∈ R2}= R2 , (6) o equivalentemente tal que no se verifica Ψ(z1,z2) = Ψ(z1) o Ψ(z1,z2) = Ψ(z2). Generaliza-ciones de este resultado han sido obtenidos para el caso periódico en [9] y [10]. Además, este tipo de resultados han sido extendidos en [12] a una frontera no periódica x3 =Φε(x1,x2)∀(x1,x2) ∈ ω, (7) suponiendo que Φε converge ∗-débil a cero en W1,∞(ω) y es tal que el soporte de la medida de Young asociada a \Φε contiene dos vectores no lineales independientes. La homogeneización del sistema de Navier-Stokes ha sido estudiada también en [15] para dominios rugosos muy generales, donde en particular no se impone estructura periódica. Nuestro objetivo en la presente memoria ha sido estudiar la relación entre las condiciones de Navier y de adherencia para rugosidades más débiles que las consideradas en [22].