Solutions for the Surface Quasigeostrophic equation

Abstract

The main aim of this project is to understand the surface quasi-geostrophic model (SQG) and prove the existence of global weak solutions under certain assumptions. Not only do we aim to understand the physics behind this model, but we also want to study it from a mathematical point of view. The SQG system, which is derived in the situation of small Rossby and Ekman numbers and constant potential vorticity, is physically important as a model to explain atmospheric and oceanic dynamics. Moreover, it has also been studied mathematically on the grounds of having similarities with three-dimensional Euler equations. In the first chapter, the main mathematical concepts that are necessary to tackle the SQG model are introduced. Among these, we find the definition of the Fourier transform on the n-dimensional torus as well as some important concepts of functional analysis, which are the cornerstone of the mathematical study that will be carried out in the forthcoming chapters. In contrast, the second chapter provides some key concepts with regard to fluids, such as vorticity and geostrophic flow. Since the SQG model stems from physical considerations, it is, therefore, necessary to possess this background information. At the end of the chapter, the SQG system is shown (not derived yet) and compared to the three-dimensional Euler equations. Next, in the third chapter, we derive the mathematical formulation of the SQG system. In order to do so, all the physical approximations are established previously, including the geostrophic and hydrostatic ones. In addition, the conservation of quasi-geostrophic potential vorticity, on which the SQG model is based, will be proved in detail. In the fourth chapter, once the quasi-geostrophic setting has been introduced, we are finally ready to prove the important theorem of this project, which states the existence of global weak solutions for the model under study. Nevertheless, uniqueness is still an open problem.

El objetivo principal de este trabajo es comprender el modelo ”surface quasi-geostrophic” (SQG) y probar la existencia de soluciones débiles globales bajo ciertas hipótesis. No solo pretendemos comprender la física detrás de este modelo, sino que también queremos estudiarlo desde un punto de vista matemático. El sistema SQG, que se obtiene cuando las constantes de Rossby y Ekman son pequeños y la vorticidad potencial constante, es un modelo de importancia a nivel físico, pues permite explicar la dinámica atmosférica y oceánica. Además, también ha sido estudiado matemáticamente por tener similitudes con las ecuaciones de Euler tridimensionales. En el primer capítulo se introducen los principales conceptos matemáticos necesarios para trabajar con el modelo SQG. Entre ellos encontramos la definición de la transformada de Fourier sobre el toro n-dimensional, así como algunos conceptos importantes del análisis funcional, que son de vital importancia para el estudio matemático que se llevará a cabo en los próximos capítulos. Por el contrario, el segundo capítulo proporciona algunas definiciones importantes para el estudio de los fluidos, como la vorticidad y el flujo geostrófico. Dado que el modelo SQG se obtiene a partir de consideraciones físicas, es necesario conocer estos conceptos previamente. Al final del capítulo, se muestra el sistema SQG (todavía no deducido) y se compara con las ecuaciones de Euler tridimensionales. La unicidad sigue siendo un problema abierto. A continuación, en el tercer capítulo, deducimos la formulación matemática del sistema SQG. Para ello se introducen previamente todas las aproximaciones físicas que son necesarias, incluidas las geostróficas e hidrostáticas. Además, se probará en detalle la conservación de la vorticidad potencial cuasi-geostrófica, en la que se basa el modelo SQG. Una vez que se han explicado las raíces físicas del modelo SQG, en el cuarto y ´ultimo capítulo probamos el teorema importante de este trabajo, que establece la existencia de soluciones débiles globales. Sin embargo, la unicidad sigue siendo un problema abierto.