Estudio de las soluciones de ciertas clases de ecuaciones de Schrödinger

Abstract

El objeto de estudio de este trabajo es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que surge de considerar un potencial tipo Rosen-Morse. Dividimos este trabajo en tres capítulos. En el primero, realizamos una breve introducción a la mecánica cuántica no relativista que justifica la necesidad de resolver esta ecuación para caracterizar un sistema dinámico. En el segundo capítulo, introducimos las distintas técnicas y resultados que nos permitirán tratar la ecuación de Schrödinger. En concreto, se estudia la reducción a ecuaciones hipergeométricas a través del método de Nikiforov-Uvarov y la obtención de soluciones con distintas propiedades (de cuadrado integrable o acotadas) haciendo uso de los polinomios ortogonales clásicos y las funciones hipergeométricas. Por último, en el tercer capítulo, se resuelve la ecuación de Schrödinger con el potencial tipo Rosen-Morse y se explora su aplicación en el estudio de la estabilidad de ondas solitarias procedentes de ecuaciones de Klein-Gordon no lineales.

In this work, we study the time-independent Schrödinger equation that arises from considering a Rosen-Morse potential. We divide this work into three chapters. In the first one, we give a brief introduction to non-relativistic quantum mechanics that justifies the need to solve this equation to characterize a dynamical system. In the second chapter, we introduce the different techniques and results that will allow us to treat the Schrödinger equation. In particular, we study the reduction to hypergeometric equations through the Nikiforov-Uvarov method and the obtaining of solutions with different properties (square-integrability or boundedness) using classical orthogonal polynomials and hypergeometric functions. Finally, in the third chapter, the Schrödinger equation with the Rosen-Morse potential is solved and its application to the study of the stability of solitary waves in nonlinear Klein-Gordon equations is explored.