Cuando Riemann conoce a Bernoulli : Aplicaciones de la Teoría de la Probabilidad en la Teoría de Números

Abstract

El objetivo de este trabajo es recopilar y mostrar, de la forma m´as cercana posible, las posibles aplicaciones de la Teor´ıa de la Probabilidad en varias cuestiones concernientes a la Teor´ıa de N´umeros. Conforme el lector pase por las p´aginas de este documento, se dar´a cuenta de que estas aplicaciones no s´olo no son pocas, sino que son realmente ingeniosas. Este trabajo toma como referencia principal el libro de Emmanuel Kowalski, [19], junto con otros textos explicitados en la bibliograf´ıa. Antes de describir el contenido, no est´a de m´as avisar de los prerrequisitos necesarios para afrontar los resultados y sus demostraciones. Es recomendable tener algunas nociones b´asicas de Teor´ıa de la Probabilidad e Inferencia Estad´ıstica, pues en muchos casos se tratar´an distribuciones b´asicas (como la normal o la Poisson) y cuestiones de convergencia de variables aleatorias. Adem´as, por supuesto, de algunas nociones de Teor´ıa Anal´ıtica de N´umeros. Si no es el caso, todos los resultados empleados de estas ´areas se encuentran en los Anexos correspondientes. Por lo tanto, podemos decir que este trabajo est´a pensado para cualquier persona que tenga inter´es en la Teor´ıa de N´umeros, pues aqu´ı se puede ver otra perspectiva de las grandes cuestiones que ´esta abarca. Podemos, pues, empezar con la descripci´on de los contenidos, lo cual haremos con el propio t´ıtulo, que no es casual. En ´el hacemos referencia a dos representantes de ambas ramas. Por un lado, Bernhard Riemann, cuya hip´otesis es, no solo el mayor problema de la Teor´ıa de N´umeros, sino de las Matem´aticas en general. Por otro lado, Jacob Bernoulli, cuya variable hom´onima es la distibuci´on (junto con la normal) m´as representativa de la Teor´ıa de la Probabilidad. Por ´ultimo, la propia estructura del t´ıtulo hace referencia a la obra biogr´afica sobre Richard Feynman, Cuando un fot´on conoce a un electr´on. En el primer cap´ıtulo encontraremos el Teorema de Erd¨os-Kac, el cual se puede considerar como el pionero de la Teor´ıa Probabil´ıstica de N´umeros. Este resultado establece que el n´umero de factores primos de un n´umero entero n sin contar multiplicidad (ω(n)) tomado aleatoriamente del conjunto {1, . . . , N} converge, previa renormalizaci´on, en ley a la normal est´andar N cuando N → +∞. Posteriormente, discutiremos la raz´on de esta renormalizaci´on, y daremos el resultado que motiv´o este teorema, el Teorema de Hardy-Ramanujan. Finalmente, con ayuda del software R, visualizaremos emp´ıricamente la convergencia en ley de ω(n), tanto renormalizando como sin renormalizar, adem´as de la distribuci´on de φ(n)/n, donde φ(n) es la funci´on totient de Euler. En el segundo cap´ıtulo se incluyen tres teoremas concernientes a la distribuci´on de la funci´on zeta de Riemann. En primer lugar, nos encontraremos los Teoremas de Bohr-Jessen y Bagchi, los cuales tratan la distribuci´on de la funci´on zeta para los s ∈ C tales que ℜ(s) ∈ (1/2, 1]. A continuaci´on, tenemos el Teorema de Selberg, el cual trata la convergencia justamente sobre la l´ınea cr´ıtica, es decir, los s ∈ C tales que ℜ(s) = 1/2. Finalmente, podemos ver una interesante interpretaci´on probabil´ıstica de la Hip´otesis de Riemann, propuesta por Arnaud Denjoy. ii En el tercer cap´ıtulo trataremos el sesgo de Chebyshev, y nuestro objetivo a lo largo del cap´ıtulo es definir la distribuci´on de Rubinstein-Sarnak, probar su existencia y dar algunas de sus propiedades, como por ejemplo, su funci´on caracter´ıstica o la probabilidad de que tome valores grandes. El cuarto cap´ıtulo sigue una estructura similar al anterior, pero tratando esta vez sobre las sumas de Kloosterman. En particular, nos interesa estudiar los caminos generados por las sumas parciales de ´estas. Para ello, definiremos estas sumas, dando algunas de sus propiedades. Posteriormente, estudiaremos su distribuci´on para acabar dando algunas consecuencias de esta distribuci´on, como el soporte de la distribuci´on o la probabilidad de que las sumas parciales tomen valores grandes. Finalmente, en el quinto cap´ıtulo daremos una introducci´on somera a varios temas en los que tambi´en se pueden enlazar la Teor´ıa de la Probabilidad y la Teor´ıa de N´umeros. Aparecer´an la equidistribuci´on m´odulo 1, los espacios entre primos, algunos resultados relacionados con la Teor´ıa de Ratner, un teorema de distribuci´on para las sumas de Rademacher, una breve introducci´on a los grafos de Ramanujan y el modelo de Cram´er junto con algunas de las fallas que presenta. Este cap´ıtulo, y por consiguiente, el trabajo, acaba con la menci´on de algunas ideas m´as en las que pueden estar involucradas las herramientas probabil´ısticas.

The main objective of this project is to collect results arising from Number Theory, which are shown or proven via probabilistic methods. With this aim in mind, the reader may see how ingenious these applications are. As a prerequisite, it is recommended to be familiar with basic Probability Theory and Statistical Inference. Also, some concepts from Analytic Number Theory will be used, so some background knowledge is required. However, if this is not the case, every result from those branches will appear in the corresponding annex. About the content, this memoir is divided into five independent chapters. The first one is about the first results concerning the bridge between Number Theory and Probability Theory. We are talking about Erd¨os-Kac Theorem, which states that the number of prime divisors, without multiplicity, of an entire number n (ω(n)) chosen randomly from the set {1, . . . , N} converges in law, renormalizing it first, to the standard Gaussian random variable N as N → +∞. After this, we present the Hardy-Ramanujan Theorem, which inspired the previous one. Finally, we will discuss the empirical results of the convergence in law of ω(n), with and without renormalization, and also the distribution of φ(n)/n, where φ(n) is Euler totient function. The second chapter contains three fundamental theorems about the distribution of Riemann Zeta function. Firstly, we will present the Bohr-Jessen and Bagchi Theorems. Those deal with the distribution of the Zeta function for s ∈ C such that ℜ(s) ∈ (1/2, 1]. Next, there is the Selberg Theorem that states the distribution of the Zeta function just on the critical line, i.e., those s ∈ C such that ℜ(s) = 1/2. We finish this chapter with a probabilistic interpretation of the Riemann Hypothesis, by Arnaud Denjoy. The third chapter is about the Chebyshev Bias, our main goal is to define the Rubinstein-Sarnak distribution, prove its existence and give some properties derived from the distribution result. The fourth chapter follows the same structure as the third one, being the main object of study in this case the Kloosterman sums. In particular, we are interested in the paths generated by partial Kloostermann sums. For that purpose, we will define those sums and give some of their properties. Then we will study their distribution, and some consequences of it. Finally, in the last chapter we will give a brief introduction to some other topics where probability has an important role. We will see equidistribution module 1, prime gaps, some results related to Ratner Theory, the distribution of Rademacher Sums, Ramanujan Graphs and Cram´er model for primes and some related problems. This chapter ends with a petty list of ideas where probabilistic tools may be helpful.