Aproximaciones numéricas descentradas para sistemas de EDP con quimiotaxis

Abstract

In this work, the phenomenon of chemotaxis is modeled, mainly by focusing on the Keller-Segel model, as well as other variants of it. Furthermore, we carry out approximations of finite differences in time and different schemes in space, such as: finite differences (FD), finite elements (FE) and finite volumes (FV). Subsequently, the schemes are particularized to a one-dimensional spatial domain and numerical simulations are performed. Analyzing the results, spurious oscillations are observed in the centered approximations and upwind schemes are proposed in each of the approximations in space: FD, FE and FV. It is proved that the three upwind schemes are equivalent in 1D and they correct the numerical oscillations of the centered schemes. In addition, the upwind scheme is proven to be solvable, and preserves the properties of conservation of total cell number, and non-negativity of cells and chemical substance, these properties are corroborated with numerical simulations. Finally, the discretization techniques developed in this work are applied to other models with chemotaxis.

En este Trabajo de Fin de Grado se modeliza el fenómeno de la quimiotaxis principalmente centrándonos en el modelo de Keller-Segel, además de otras variantes del mismo. A su vez, realizamos aproximaciones numéricas del tipo diferencias finitas en tiempo y distintos esquemas en espacio, tales como: diferencias finitas (DF), elementos finitos (EF) y volúmenes finitos (VF). Posteriormente, se particularizan los esquemas a un dominio espacial unidimensional y se realizan simulaciones numéricas. Analizando los resultados, se observan oscilaciones espúreas en las aproximaciones centradas, y se proponen esquemas descentrados en cada una de las aproximaciones en espacio: DF, EF y VF. Se prueba que los tres esquemas descentrados son equivalentes en 1D y corrigen las oscilaciones numéricas de los esquemas centrados. Además, se prueba que el esquema descentrado tiene solución, y preserva las propiedades de conservación de la cantidad total de células y de no negatividad de células y química, estas propiedades se corroboran con las simulaciones numéricas. Finalmente se aplican las técnicas de discretización desarrolladas en este trabajo a otros modelos con quimiotaxis.