Controlabilidad de sistemas diferenciales ordinarios. Coste de controles rápidos. Aplicaciones

Abstract

En este trabajo vamos a considerar un sistema diferencial ordinario lineal de la forma: ( y ′ = A(t)y + B(t)u, t ∈ [0, T], y(0) = y0, (1) con T > 0, A ∈ C 0 ([0, T];L(R n )) y B ∈ C 0 ([0, T];L(R m; R n )), donde y0 ∈ R n está dado. Nuestro objetivo será estudiar si existe una función u ∈ L 2 (0, T; R m) conocida como función de control, de modo modo que la solución y : [0, T] → R n alcanza un determinado estado yd ∈ R n en el tiempo T > 0. Esto es lo que se conoce como controlabilidad. Para ello, comenzaremos viendo que este sistema está bien planteado. Posteriormente introduciremos cuatro conceptos de controlabilidad: controlabilidad exacta, controlabilidad exacta a trayectorias, controlabilidad nula y controlabilidad aproximada. Probaremos, que para un sistema diferencial ordinario lineal estos conceptos son equivalentes. Introduciremos el concepto de gramiano de controlabilidad, gracias al cual daremos una primera condición necesaria y suficiente de controlabilidad para el sistema (1). Veremos que existen infinitos controles que nos llevan al estado deseado y estudiaremos el que tiene norma mínima. La condición necesaria y suficiente de controlabilidad usando el gramiano nos implica conocer una matriz fundamental del sistema y ′ = A(t)y, t ∈ [0, T]. Es por esto que buscamos otra condición necesaria y suficiente pero que sea puramente algebraica. Para sistemas autónomos será la denominada Condición de Rango de Kalman. Así mismo, encontraremos una forma equivalente de expresar nuestro sistema, gracias a la forma canónica de Brunovsky que nos facilitará los cálculos. También estudiaremos el denominado Método de Unicidad de Hilbert que nos permite caracterizar el conjunto de estados alcanzables para (1) cuando y0 = 0. Analizaremos cómo se ve afectado el coste de control cuando disminuimos el tiempo T en el que queremos alcanzar el objetivo. A continuación, a modo de ejemplo, veremos algunas aplicaciones de la Condición de Rango de Kalman a diversos sistemas físicos sencillos como puede ser un oscilador armónico o un circuito RLC, lo cual nos dará una perspectiva de la aplicabilidad de estos problemas a otros ámbitos de la ciencia e ingeniería. Finalmente, introduciremos algunos resultados para sistemas no lineales.

In this work we are going to consider a linear ordinary differential system of the form: ( y ′ = A(t)y + B(t)u, t ∈ [0, T], y(0) = y0, (2) with T > 0, A ∈ C 0 ([0, T];L(R n )), B ∈ C 0 ([0, T];L(R m; R n )) and y0 ∈ R n is given. The aim of this work is to study whether there exists a function u ∈ L 2 (0, T; R m), known as control function, such that the solution y : [0, T] → R n of (2) reaches a certain state yd ∈ R n at time T > 0. This is what is known as controllabillity problem. To this end, we will begin by seeing that this system is well posed. Then we will introduce four concepts of controllabillity; exact controllabillity, exact controllabillity to trajectories, null controllabillity and approximate controllabillity. We will prove that for system (2) these concepts are equivalent. We will introduce the concept of the controllability gramian, which will provide a first necessary and sufficient condition of controllability for system (2). We will see that there are infinite controls that lead us to the desired state and we will study the one that has the minimum norm. The controllability condition provided by the controllability gramian involves the computation of a fundamental matrix for system y ′ = A(t)y, t ∈ [0, T]. This is why we are looking for another necessary and sufficient condition purely algebraic. If the system is autonomous, it will be the so-called Kalman Rank Condition. In addition, thanks to the Brunovsky canonical form we will be able to find an equivalent way to express our system in which the computations will be easier. We will also study the so-called Hilbert Uniqueness Method which allows us to characterize the set of reachable states for system (2) when y0 = 0. We will analyze how the control cost is affected when we decrease the time T in which we want to reach the target. Next, as an example, we will see some applications of the Kalman Range Condition to several simple physical systems such as a harmonic oscillator or a RLC circuit, which will give us a perspective of the applicability of these problems to other fields of science and engineering. Finally, we will introduce some results for nonlinear systems.