De la ecuación de Kramers a Smoluchowski: límite sobreamortiguado del movimiento browniano

Abstract

El movimiento browniano consiste en el movimiento estocástico de partículas suspendidas en un fluido debido a las colisiones de estas con las partículas del mismo. Su estudio es de gran importancia en áreas de conocimiento donde las fluctuaciones térmicas son relevantes, tales como la materia condensada blanda, la biofísica o los nanodispositivos. En este trabajo realizamos un estudio del movimiento browniano a través de dos enfoques distintos, la ecuación de Fokker-Planck y el enfoque de Langevin. Comenzamos por un breve estudio del régimen subamortiguado descrito por la ecuación de Kramers, en el que demostramos una propiedad interesante cuando el sistema está sometido a una fuerza armónica. A continuación, como punto fundamental de este trabajo, probamos que la ecuación de Smoluchowski, que describe el régimen sobreamortiguado, aparece como un límite bien definido de la ecuación de Kramers, usando para ello un desarrollo perturbativo singular. Seguidamente, nos centramos en el estudio de la partícula browniana en el régimen sobreamortiguado, donde analizamos dos situaciones de confinamiento interesantes: armónico y en una caja. Simulamos estos sistemas y comparamos los resultados con las expresiones analíticas para comprobar la equivalencia entre ambos enfoques. Por último, estudiamos el caso de una partícula browniana en un recinto en expansión.

Brownian motion is the stochastic motion of particles suspended in a fluid due to collisions of these particles with those of the fluid. It is of particular interest in research fields where thermal fluctuations are relevant, such as soft condensed matter, biophysics and nanodevices. In this work, we study the Brownian motion by following two approaches, the FokkerPlanck equation and the Langevin description. We start with a brief study of the underdamped regime, governed by the Kramers equation, where we demonstrate an interesting property of its solutions when the Brownian particle is submitted to a harmonic force. Then, we prove, as the main objective of this work, that the Smoluchowski equation can be obtained as a limit case of the Kramers equation, for which we use a singular perturbation method. Subsequently, we focus on the study of the Brownian particle in the overdamped regime, where two different types of confinement are analyzed: harmonic and in a box. Simulations have been carried out, comparing numerical results with analytic expressions to verify the equivalence between both approaches. Finally, we look into a Brownian particle in a growing domain.