Modelización y simulaciones numéricas de problemas de control óptimo en modelos biológicos con quimiotaxis

Abstract

Mathematical modelling and numerical optimization are applications of Mathematics with a huge potencial, being able to help a lot of disciplines appart from Mathematics. In this work, the model of Chemotaxis will be studied, which is related with the movement and pattern formation of cells and bacterias. In particular, our base will be the Keller-Segel model. After a breaf theorical study of this model, the fundamental purpose of this work will be making numerical simulations using Matlab software and studying the possibility of controlate this system. For getting numerical simulations, numerical schemes used will be based on the discretization of one of the independependent variables of our problem (space and time), and the other one will be solved by previously defined Matlab functions. To make the different controls showed in this work (space, time, and space-time controls) two different techniques will be proposed: the first one is calculating the minimum of the functional directly by a numerical optimization algorithm, and the second one is solving an optimality system. Finally, the results obtained will be analyzed and compared.

La modelización matemática y la optimización numérica son aplicaciones de las Matemáticas con un gran potencial, siendo capaces de ayudar e impulsar muchas disciplinas aparte de las mismas Matemáticas. En este trabajo se estudiará el modelo de la Quimiotaxis, que está relacionado con el movimiento y la formación de patrones de células y bacterias. En particular, nuestra base será el modelo de Keller-Segel. Después de un breve estudio teórico de dicho modelo, el propósito de este trabajo será hacer simulaciones numéricas usando el software Matlab y estudiar la posibilidad de controlar este sistema. Para realizar las simulaciones numéricas, se usarán esquemas numéricos que se basarán en la discretización en una de las dos variables independientes de nuestro problema (espacio y tiempo), y en la otra se utilizarán funciones que están previamente definidas con Matlab. Para realizar los distintos tipos de controles que se mostrarán en este trabajo (control en tiempo, control en espacio, y control en espacio y en tiempo) se propondrán dos técnicas diferentes: la primera será calcular directamente el mínimo del funcional con el que se esté trabajando a través de un algoritmo de optimización numérica, y la segunda será resolviendo un sistema de optimalidad. Finalmente, los resultados obtenidos serán analizados y comparados entre sí.