Breathers en la ecuación de sine-Gordon con laplaciano fraccional

Abstract

El objetivo de este proyecto es estudiar las soluciones tipo breather en la ecuación de sine-Gordon clásica y la ecuación con laplaciano de orden fraccionario. Hemos dividido el trabajo en cuatro capítulos. En el capítulo 1 presentamos el interés de este trabajo e introducimos los conceptos básicos con los que trabajamos: ecuación de sine-Gordon, breathers y derivadas de orden fraccionario. El segundo capítulo lo dedicamos a analizar los métodos numéricos que implementaremos en MATLAB para calcular breathers: el método de disparo y un método basado en el desarrollo de Fourier de la solución. Un concepto de gran importancia es la estabilidad de las soluciones a la que le dedicamos el capítulo 3. En dicho capítulo estudiamos los modos lineales de vibración (una de las causas principales de la aparición de inestabilidades) y exponemos los resultados principales de la teoría de Floquet, teoría que nos permite dar una condición necesaria y suficiente para conocer la estabilidad lineal de los breathers. Por último, reservamos el cuarto capítulo para exponer los resultados principales de este trabajo: primeramente, reproducimos los resultados clásicos ya conocidos para breathers en la ecuación de sine-Gordon y, en segundo lugar, presentamos los resultados novedosos acerca de la dependencia de las propiedades de los breathers con el orden fraccionario del laplaciano considerado.

The aim of this project is to study breather-like solutions in the sine-Gordon equation with the classical Laplacian and the fractional one. We have divided it into four chapters. Chapter 1 is devoted to motivating the interest of this work as well as to introducing the main concepts we are working with: the sine-Gordon equation, breathers and fractional derivatives. In chapter 2, we analyze the numerical methods we will implement in MATLAB to calculate breathers: shooting method and a method based on expressing the solution as Fourier series. Another main concept is stability of solutions, thus we will consecrate chapter 3 to it. In the aforementioned chapter, we will study linear vibration modes (which are one of the main causes of instability) and we will present as well the main results of Floquet theory. This will allow us to state a necessary and sufficient condition for breathers lineal stability. Lastly, chapter 4 will be dedicated to presenting our results: firstly, we will reproduce classical, well-known results about the sine-Gordon equation; and, secondly, we will show new results about the relation between breathers properties and the fractional-order Laplacian.