Desarrollo y análisis de un modelo de orden reducido POD con viscosidad artificial. Aplicaciones en mecánica de fluidos

Abstract

La simulaci´on de flujos de flu´ıdos con altos n´umeros de Reynolds (r´egimen de convecci´on dominante, turbulento) sigue siendo un ´area de investigaci´on muy activa. La resoluci´on precisa y eficiente al mismo tiempo de las ecuaciones en derivadas parciales subyacentes puede suponer un verdadero desaf´ıo. Por esta raz´on, la finalidad de este trabajo es proponer Modelos de Orden Reducido (MOR), de tipo Proper Orthogonal Descomposition (POD), para tratar este problema. En particular, en este trabajo se expone un estudio te´orico del m´etodo POD y se propone un modelo de orden reducido POD con viscosidad artifical. Este m´etodo se aplicar´a en primera instancia a la ecuaci´on de Burgers con coeficientes de difusi´on muy peque˜nos. En este contexto, para el m´etodo propuesto (AV-POD-G-ROM) se derivan las estimaciones de error correspondientes y se realizan simulaciones num´ericas. En segundo lugar, se extiende este m´etodo a las ecuaciones de NavierStokes con viscosidades peque˜nas, dando lugar a un modelo de orden reducido POD de tipo Smagorinsky (S-POD-G-ROM). En este contexto, se realizan simulaciones num´ericas del flujo no estacionario alrededor de un obst´aculo.

The numerical simulation of fluid flows at high Reynolds numbers (dominant convection, turbulent regime) is a very active research area. The precise and efficient resolution of the corresponding partial derivative equations can be a real challenge. For this reason, the goal of this work is to propose Reduced Order Models (ROMs), based on Proper Orthogonal Decomposition (POD), to treat this problem. In particular, in this work we show a theoretical study of the POD method and propose a POD reduced order model with artificial viscosity. This method will be applied in first instance to the Burgers equation with small diffusion coefficients. In this context, for the proposed method (AV-POD-G-ROM) the corresponding error estimates are derived and numerical simulations will be carried out. Secondly, this method will extend to the Navier-Stokes equations with small viscosity, leading to a Smagorinsky POD reduced order model (S-POD-G-ROM). In this context, numerical simulations of unsteady flow around an obstacle will be carried out.