Sobre la estabilidad de ciertos tipos de ecuaciones no lineales de Klein-Gordon

Abstract

En el presente trabajo, nuestro objetivo es estudiar la estabilidad de ciertas soluciones estacionarias de una determinada familia de ecuaciones no lineales de Klein-Gordon. El trabajo se encuentra dividido en tres capítulos. El primero de ellos tiene como fin el servir de motivación sobre la singularidad y la importancia de las soluciones de tipo “solitón” y de tipo “kink”, dado que las soluciones objeto de nuestro estudio de estabilidad siempre pertenecen a esta última clase de soluciones. En el segundo capítulo desarrollamos el método del pseudopotencial, con objeto de obtener soluciones tipo “kink” de ecuaciones no lineales de Klein-Gordon, y lo aplicamos a dos casos particulares. Además, se realiza un estudio de estabilidad de las soluciones tipo “kink” de ecuaciones no lineales de Klein-Gordon y se sientan las bases y las definiciones de nuestro estudio de estabilidad lineal hasta llegar a una ecuación diferencial ordinaria de tipo hipergeométrico. Finalmente, en el tercer capítulo, resolveremos dicha ecuación para toda una familia de ecuaciones no lineales de Klein-Gordon, haciendo uso de funciones especiales.

In the present work, our aim is to study the stability of certain static solutions of a particular family of nonlinear Klein-Gordon equations. The work is divided in three chapters. The purpose of the first chapter is to motivate about the singularity and the importance of the “soliton” kind and “kink” kind solutions, due to the fact that the solutions object of our stability study always belong to this last class of solutions. In the second chapter, we develop the pseudopotential method in order to obtain “kink” kind solutions of nonlinear Klein-Gordon equations, and we apply it to two particular cases. Furthermore, a stability study of “kink” kind solutions of nonlinear Klein-Gordon equations is performed, and we establish the foundations and definitions of our linear stability study until we reach a hypergeometric kind ordinary differential equation. Finally, in the third chapter, we solve such equation for an entire family of nonlinear Klein-Gordon equations, making use of special functions.