Ecuaciones de Navier-Stokes y Atractores

Abstract

Este trabajo aborda uno de los problemas de mayor renombre en áreas como la física, las matemáticas o la ingeniería: las conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones en derivadas parciales, enmarcadas en el contexto de la mecánica de fluidos, constituyen la piedra angular de un problema que aún continúa abierto a día de hoy, dada su naturaleza no-lineal. No obstante, bajo determinadas condiciones veremos que es posible determinar la existencia y unicidad de soluciones. En este texto estudiaremos el caso bidimensional, incompresible y autónomo. A su vez, el estudio realizado se complementa introduciendo el concepto de atractor, orientado a estas ecuaciones. Una vez desarrollada la teoría en torno a la construcción de éstos, tendremos ocasión de apreciar la utilidad de los atractores dinámicos a la hora de concebir el problema de evolución planteado por Navier-Stokes. Se introducen también algunas nociones relativas a líneas de investigación más actuales para casos no-autónomos, desde la extensión del problema al caso tridimensional, hasta la formulación de las ecuaciones de Navier-Stokes estocásticas, añadiendo un ruido aditivo. En lo que respecta a los atractores, se introducen sucintamente los atractores pullback, estableciendo los prolegómenos para poder ahondar en la materia más allá de este texto.

This work addresses one of the most renowned problems in areas such as physics, mathematics or engineering: those known as Navier-Stokes equations. These partial derivative equations, framed in the context of fluid mechanics, constitute the cornerstone of a problem that is still open today, given its non-linear nature. However, under certain conditions we will see that it is possible to determine the existence and uniqueness of solutions. In this text we will study the two-dimensional, incompressible and autonomous case. In addition, the study carried out is complemented by introducing the concept of attractor, oriented to these equations. Once the theory around their construction has been developed, we will have the opportunity to appreciate the usefulness of dynamic attractors when it comes to conceiving the evolution problem posed by Navier-Stokes. Some notions related to more current lines of research for non-autonomous cases are also introduced, from the extension of the problem to the three-dimensional case, to the formulation of the stochastic Navier-Stokes equations, adding an additive noise. With regard to attractors, pullback attractors are briefly introduced, establishing the prolegomena in order to delve into the subject beyond this text.