La sucesión espectral de Adams

Abstract

Without doubts, calculating homotopy groups of spheres is one of the main open problems in Algebraic Topology. After Toda and Serre’s computations, the Adams spectral sequence rose up as one of the most powerful tools for computing homotopy groups. Spectral sequences are one of the most useful and difficult to understand tools in homological algebra, they can be viewed as pages of a book: one does not know the content of the book until it has read all of it pages. This analogy is very clear becouse the terms of a spectral sequence are also named pages. The work of Adams, Steenrod, Novikov, May and many other autors help to understand the second page of the Adams spectral sequence. However, in the last decades, Baues and Jibladze with some other authors, have developed a theory to understand and compute the third page. The main goal of this Master Thesis is to understand those works and use this results to improve the computations of the stable homotopy groups of the spheres.

El cálculo de los grupos de homotopía de las esferas es, sin duda, uno de los problemas abiertos más importantes de la Topología Algebraica. Tras los cálculos de Toda y Serre, la sucesión espectral de Adams aparece como una poderosa herramienta para su cómputo. Las sucesiones espectrales son uno de los objetos más útiles y a su vez más difíciles de tratar del álgebra homológica, estas pueden entenderse como las páginas de un libro: no sabremos el contenido del libro hasta que hayamos leído todas sus páginas. Esta analogía es bastante acertada pues, de hecho, los términos de una sucesión espectral también se llaman páginas. Los trabajos de Adams, Steenrod, Novikov y May entre otros autores arrojaron luz sobre la segunda página de la sucesión espectral de Adams; sin embargo, en las ´ultimas décadas, Baues y Jibladze junto a otros colaboradores se han dedicado al estudio de la tercera. El objetivo principal de este Trabajo de Fin de Máster es presentar y desarrollar estas nuevas herramientas, especialmente con el fin de mostrar cómo pueden mejorarse los cálculos sobre los grupos de homotopía estable de las esferas con ellas.