Métodos de Orden Reducido para Ecuaciones Diferenciales

Abstract

Gracias al desarrollo tecnológico de los ordenadores durante el siglo XX, las simulaciones numéricas se han convertido en un campo fundamental en la mayoría de las Ciencias, y son particularmente importantes en el campo de las Ecuaciones Diferenciales, como consecuencia de sus múltiples aplicaciones. Las simulaciones nos ofrecen una plataforma virtual para la realización de tests, de gran utilidad para comprender la dinámica de distintos sistemas, o para la construcción de simuladores de todo tipo, entre otras muchas aplicaciones. Para que los modelos sean realistas y puedan ser utilizados de manera efectiva, es necesario resolver problemas complejos con una alta precisión (high-fidelity), lo que puede conllevar un alto coste computacional. El modelado de orden reducido entra en juego ya que reemplaza el sistema high-fidelity por otro en el que se puede evaluar la solución para cualquier nuevo caso con un coste computacional bajo, mientras se mantienen las propiedades cualitativas y cuantitativas principales de la solución. En este trabajo consideraremos dos méto dos para el modelado de orden reducido: Proper Orthogonal Decomposition (POD) y una adaptación del método Greedy. Como aplicación, comprobaremos en primer lugar los resultados en el caso de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs), donde realizaremos modelado de orden reducido respecto de los parámetros físicos. Por último, aplicaremos el método POD para aproximar los datos obtenidos al resolver Sistemas Diferenciales Ordinarios (SDO) como primer paso para la creación del sistema reducido asociado.

Thanks to the technological development of computers in the 20th century, numerical simulations have become a fundamental field in most of the Sciences, and they are especially important in the field of Differential Equations, because of their multiple applications. Simulations provide us a virtual platform to perform tests, with great utility in order to understand the dynamics of different systems, or to build all kind of simulators, among many other applications. For the models to be realistic and can be used effectively, it is necessary to solve complex problems with high precision (high-fidelity), this can carry a high computational cost. Reduced order modelling comes into play as it replaces the high-fidelity system with another, in which we can evaluate the solution for any new parameter instance with low computational cost, while capturing its main qualitative and quantitative features. In this work, we consider two methods of reduced order modelling, Proper Orthogonal Decomposition and an adaptation of the Greedy method. As an application, we will first check the results for Partial Differential Equations (PDEs), we apply reduced order modelling with respect to physical parameters. At last, we apply the POD method in order to approximate data obtained by solving Systems of Differential Equations (SDEs), as the first step to build the associated reduced system.