Operadores esencialmente normales y existencia de subespacios invariantes

Abstract

A main problem of Operator Theory consists of studying which operators have an invariant subspace, or what properties they must have to possess it. In this project we will work on separable complex Hilbert spaces and we will begin by defining and viewing properties of the classical topologies that we will use. Later, we will continue studying compact operators and proving the existence of invariant subspace. Next, we will do the same with normal operators, relying on the spectral theorem. Finally, we will define what is known as an essentially normal operator, and we will study a fairly recent result on the existence of these invariant subspaces under certain hypotheses.

Un problema principal de la Teoría de Operadores consiste en estudiar qué operadores tienen subespacio invariante, o que propiedades deben tener para poseerlo. En este proyecto trabajaremos sobre espacios de Hilbert separables complejos y comenzaremos definiendo y viendo propiedades de las topologías clásicas que usaremos. Después, continuaremos estudiando los operadores compactos y probando la existencia de subespacio invariante. A continuación, haremos lo mismo con los operadores normales, apoyándonos en el teorema espectral. Finalmente, definiremos lo que se conoce como operador esencialmente normal, y estudiaremos un resultado bastante reciente sobre la existencia de dichos subespacios invariantes bajo ciertas hipótesis.