Contraejemplos en Análisis : Lineabilidad

Abstract

In 1966, Russian mathematician Vladimir Gurariy proved that the set of continuous functions on the interval [0, 1] that are nowhere differentiable contains, except for the zero function, an infinite-dimensional vector space (that is, it is lineable, a term coined by Gurariy himself). This is a surprising result to say the least, since it evinces that, however difficult it is to find any such function, not only there are many of them, but they also constitute large algebraic structures. The study of lineability and algebrability (the analogous property for algebras ins tead of vector spaces) has gained in popularity over the 21st century; the book [1] is a sizeable compilation of results in the field. Based on two recent articles [2, 4], this work addresses the lineability and algebrability of anti-L’Hôpital and anti-Weierstrass M spaces, which are respectively formed by functions and sequences of functions which verify the conclusions of L’Hôpital’s Rule and Weierstrass M Criterion despite failing to meet their hypotheses. In Chapter 1 we include some notions and results that are required in the following chapters, so as to make the text as self-contained as possible. Specifically, we briefly review real analytic functions, we lay out the basic theory of cardinal numbers in plenty of detail, we give the general proof of the Dimension Theorem, we prove that the dimension of R over Q is c, we recall the concepts of algebra and free algebra, we list several well-known results in Topology and Functional Analysis, and we introduce the spaces of functions and sequences of functions that are used throughout the work. Chapter 2 contains the definitions of lineability and algebrability, as well as a criterion that provides a sufficient condition for an α-lineable set to be densely α-lineable, which is used in the two remaining chapters. Chapter 3 begins with a review of L’Hôpital’s Rule and an example of a function to which it cannot be applied. Inspired by this function, we define the anti-L’Hopital space on a given subset of R and characterise when it is non-empty. Finally, we obtain the dense c-lineability and the strong c-algebrability of these spaces. Chapter 4 has the same structure as the previous one. First we recall the concept of uniform convergence, the Cauchy Criterion (which gives an equivalent condition to uniform convergence) and the Weierstrass M Criterion (which gives a sufficient condition). Then we construct an example of a sequence of functions which is uniformly convergent but does not meet the hypotheses of the Weierstrass M Criterion. Next we define anti-Weierstrass M spaces, we obtain a big family of examples and we use it to show the c-lineability. Lastly, we prove a couple of technical lemmas and the strong c-algebrability.

En 1966, el matemático ruso Vladimir Gurariy demostró que el conjunto de las funciones continuas en el intervalo [0, 1] que no son derivables en ninguna parte contiene, salvo por la función nula, un espacio vectorial de dimensión infinita (es decir, es lineable, término acuñado por el propio Gurariy). Se trata cuando menos de un resultado sorprendente, pues pone de manifiesto que, a pesar de la dificultad de encontrar tales funciones, no sólo hay muchas, sino que además constituyen estructuras algebraicas grandes. El estudio de la lineabilidad y la algebrabilidad (la propiedad análoga con álgebras en vez de con espacios vectoriales) ha cobrado cierto auge en el siglo XXI; un compendio amplio de resultados en el campo es el libro [1]. Este trabajo aborda, siguiendo dos artículos recientes [2, 4], la lineabilidad y la algebrabilidad de los espacios anti L’Hôpital y anti-M de Weierstrass, que están formados respectivamente por funciones y por sucesiones de funciones que verifican las conclusiones de la Regla de L’Hôpital y del Criterio M de Weierstrass pese a no cumplir sus hipótesis. En el Capítulo 1 incluimos nociones y resultados que se requieren en los siguientes capítulos, con el ánimo de que el texto sea lo más autocontenido posible. En concreto, repasamos brevemente las funciones analíticas reales, desarrollamos con bastante detalle la teoría básica de números cardinales, damos la demostración general del Teorema de la Dimensión, probamos que la dimensión de R sobre Q es c, recordamos los conceptos de álgebra y álgebra libre, recogemos varios teoremas conocidos de Topología y de Análisis Funcional, e introducimos los espacios de funciones y de sucesiones de funciones que se emplean a lo largo del trabajo. El Capítulo 2 contiene las definiciones de lineabilidad y algebrabilidad, así como un criterio que proporciona una condición suficiente para que un conjunto α-lineable sea densamente α-lineable, el cual se usa en los dos capítulos restantes. En el Capítulo 3 comenzamos revisando la Regla de L’Hôpital y dando un ejemplo de función a la que no se le puede aplicar. Inspirándonos en esta función, definimos el espacio anti-L’Hôpital en un subconjunto dado de R y caracterizamos cuándo es no vacío. Para terminar, obtenemos la c-lineabilidad densa y la c-algebrabilidad fuerte de dichos espacios. El Capítulo 4 tiene la misma estructura que el anterior. Primero repasamos el concepto de convergencia uniforme, el Criterio de Cauchy (que da una condición equivalente a ella) y el Criterio M de Weierstrass (que da una condición suficiente). Después construimos un ejemplo de sucesión de funciones que converge uniformemente aunque no cumple las hipótesis del Criterio M de Weierstrass. A continuación definimos los espacios anti-M de Weierstrass, obtenemos una gran familia de ejemplos y la utilizamos para mostrar la c-lineabilidad. Finalmente, probamos un par de lemas técnicos y acabamos con la c-algebrabilidad fuerte.