Causalidad en variedades de Lorentz teoremas de singularidad

Abstract

En este trabajo se realizará un primer acercamiento a la teoría de Causalidad en variedades de Lorentz enfocada al estudio de los teoremas de singularidad en un marco físico-matemático. Se comenzará introduciendo el concepto de variedad diferenciable y, a partir de este, se irán generando nuevas estructuras cada vez más complejas con las ideas que se desarrollarán a lo largo de los capítulos. En primer lugar, las variedades diferenciables se equiparán con un tensor métrico que permitirá definir el concepto de variedad semi-Riemanniana generándose un modo general de medir longitudes, ángulos, curvaturas, etc. Posteriormente, se destacará el estudio de un tipo particular de estas variedades: las variedades de Lorentz; se dotará a estas de una orientación temporal construyéndose la idea general de espacio-tiempo. En este punto, se estudiará brevemente la Teoría General de la Relatividad y algunos de sus modelos más simples sirviendo de nexo natural entre las ideas matemáticas previas — sustentándose en ellas — y las posteriores, introduciendo el concepto de singularidad y motivando el estudio de la teoría de Causalidad. En este sentido, el último capítulo estará enfocado en los conceptos más básicos de la teoría de la Causalidad — relaciones causales, hipersuperficies de Cauchy, etc. — generándose un formalismo que culminará con la construcción de los teoremas de singularidad que permitirán abordar de un modo más general la idea de singularidad en cualquier espacio-tiempo bajo determinadas condiciones.

This project consists in a first approach to the theory of Causality in Lorentz manifolds aimed at the study of the singularity theorems from a physical-mathematical perspective. New increasingly complex structures will be generated from a very first introduction to the concept of smooth manifold and the different ideas developed throughout the chapters. First of all, smooth manifolds will be equipped with a metric tensor which will make the definition of semi-Riemannian manifold possible, generating a general way of measuring lengths, angles, curvature, etc. Afterward, a particular type of semi-Riemannian manifolds will be outlined: Lorentz manifolds; the general idea of space-time will be built equipping them with the concept of time orientation. At this point, General Relativity Theory and some of its simplest models will be studied briefly providing a natural connection between the previous mathematical ideas — as this theory relies on them — and the subsequent ones, introducing the concept of singularity and motivating the study of Causality theory. In this sense, the last chapter of the project will focus on the most basic concepts of Causality theory — causal relations, Cauchy hypersurfaces, etc. — generating a formalism that will culminate with the construction of the singularity theorems which will generalize the idea of singularity in any space-time under certain conditions.