Funciones universales y propiedades de Acotación

Abstract

El objetivo principal de este Trabajo Fin de Máster es realizar un estudio sobre los últimos resultados de existencia de funciones enteras universales con propiedades de acotación y trasladarlos al ámbito de las funciones armónicas. Esta memoria se dividirá en cuatro capítulos. En el primero de ellos, haremos un breve recordatorio de algunas nociones básicas que se usarán en los capítulos poste riores. En el segundo capítulo estudiaremos la universalidad de funciones en el ámbito de las funciones complejas y daremos algunas propiedades de acotación de dichas funciones mediante el concepto de conjunto de Arakelian. En el siguiente capítulo estudiaremos la universalidad de funciones armónicas en RN , definiremos los conjuntos de Carleman y probaremos, bajo ciertas condiciones, la existencia de funciones armónicas universales en RN . En el último capítulo veremos cómo es posible trasladar los resultados de acotación de funciones enteras universales al ámbito de las funciones armónicas en RN , siendo el contenido de este capítulo original. La realización del presente trabajo nos ha permitido adentrarnos en una línea de investigación que conjuga conceptos propios del Análisis Funcional, la Teoría de Operadores y la Topología. Se trata de un campo que se ha desarrollado principalmente en los últimos 25 años, aunque sus orígenes se remonten a las primeras décadas del siglo XX.

The aim of this Master’s Thesis is to study the latest results of existence of universal entire functions with bounded properties and translate them to the field of harmonic functions. This memory is divided into four chapters. In the first one, we will make a brief reminder of some basic concepts that will be used in subsequent chapters. In the second chapter, we will study the universality of complex functions and we will give some bounded properties of such functions through the concept of Arakelian subsets. In the next chapter we will study the universality of harmonic functions in RN , and will define the notion of Carleman sets and will prove, under certain conditions, the existence of universal harmonic functions on RN . In the last chapter we will see how it is possible to transfer these results from entire functions to harmonic functions on RN . The content of this chapter is original. The completion of this work has allowed us to get into a line of research that combines concepts of Functional Analysis, Operator Theory and Topology. This is a field that has developed mainly in the last 25 years, although its origins date back to the early twentieth century.