Un estudio sobre la homología persistente con coeficientes enteros

Abstract

La homología persistente es una técnica que se usa para analizar la evolución de una cierta propiedad algebraica, la homología, sobre un espacio topológico que se construye paso a paso. Los resultados de la homología persistente varían según la elección de coefi cientes que usemos para su cálculo. La homología persistente con coefi cientes en un cuerpo ha sido ampliamente estudiada y aplicada gracias a su comodidad para el cálculo, su estabilidad y la existencia de invariantes sencillos y completos para clafisi carla. Por contra, la homología persistente con coe ficientes enteros presenta más difi cultades para su cálculo y clasifi cación, y apenas ha sido estudiada. En este trabajo presentamos los grupos BD, un tipo de estructuras algebraicas diseñadas para el estudio de la homología persistente con coefi cientes enteros y explicamos sus propiedades más generales. Además planteamos y probamos una serie de resultados totalmente originales que nos permiten ver que estos grupos BD generalizan adecuadamente los invariantes ya conocidos para la homología persistente con coefi cientes en un cuerpo, y defi nimos un marco más general donde iniciamos el camino para probar la estabilidad de estos grupos frente a pequeñas perturbaciones.

Persistent homology is a technique used to analyze the evolution of a certain algebraic property, the homology, of a topological space that is built step by step. The results of the persistent homology vary according to the choice of cofficients used for its calculation. Persistent homology with cofficients over a field has been widely studied and applied thanks to it easy computation, its stability and the existence of easy and complete invariants for its classification. By contrast, persistent homology over integer coefficients is harder to calculate and classify and it has been barely studied. In this work we introduce the BD groups, a sort of algebraic structures designed for the study of persistent homology over integer coefficients and we explain its more general properties. Also, we present and prove some totally original results showing that these BD groups are a good generalization of the already known invariants for the persistent homology over field coefficients, and we defi ne a more general framework where we start the path to prove the stability of these groups in the presence of small perturbations.