Irrationality and transcendence in the 18th and 19th centuries. A contextualized study of J. H. Lambert's Mémoire (1761/1768)

Abstract

The object of this dissertation is to carry out a historical study on the development of irrational numbers and the concept of transcendence in mathematics during the 18th and 19th centuries. Although many authors are analyzed, the central character of the study is Johann Heinrich Lambert (1728--1777) and his Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques (1761/1768). The main contributing portion --Part II of the dissertation consists of the rst annotated translation of this work, which is particularly known for including the rst demonstration of the irrationality of π, an analysis that is accompanied with a biography of its author. The research of this work and its author is not done separately. Rather, it is contextualized by analyzing the development of the so-called <<special irrationals>> in two markedly di erent centuries, the 18th and 19th, culminating in the complete theories of real numbers and the new conception of <<transcendental>> numbers. In Part I of the thesis, the situation prior to Lambert and mainly in the 18th century is analyzed an analysis in which Euler has a relevant role , but we also take a brief look at the last decades of the 16th and the 17th centuries, the time frame of the origin and development of analytical methods, key to progress towards a deeper understanding of irrational numbers. Lastly, Part III sheds light on the influence that Lambert's work had on later generations, and more generally, on the way in which irrational numbers went from being a mere quantities (classical image) to abstract objects de ned through in nite processes (modern image). This deeper knowledge of irrational numbers is particularly re ected in the rst demonstrations of transcendence, and in this sense, a key character is Joseph Liouville (1809-1882). This is not only because of his own contributions, but also because of his enormous influence through his Journal, his lectures, and the international network of contacts at his disposal, Dirichlet being a particularly distinguished case. To a large extent, the in uence of Liouville, which directly or indirectly was swayed by Lambert, is responsible for the famous results of Hermite and Lindemann on the transcendence of e and π --a concept (that of transcendence) which will not begin to be used in its modern meaning in a systematic way until the last decades of the 19th century, starting with the work of Dedekind.

El objetivo de esta tesis es realizar un estudio histórico del desarrollo de los números irracionales y del concepto de trascendencia en la matemática de los siglos XVIII y XIX. Si bien son muchos los autores que se analizan, este estudio tiene en Johann Heinrich Lambert (1728_1777) y su Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques (1761/1768) a sus principales protagonistas. La principal aportación _Parte II de la tesis_ consiste en la primera traducción anotada de este trabajo _particularmente conocido por incluir la primera demostración de la irracionalidad de __, un análisis que se acompaña con un estudio del propio autor. La investigación de este trabajo y de su autor no se hace de forma aislada, sino que se contextualiza analizando el desarrollo de los llamados irracionales _especiales_ en dos siglos marcadamente diferentes, el XVIII y el XIX, hasta culminar en las teorías completas de los números reales y en los ya números _trascendentes_. En la Parte I de la tesis, se analiza la situación antes de Lambert y principalmente en el siglo XVIII _un análisis en el que Euler tiene un papel relevante_, pero echando una breve mirada hacia las últimas décadas del siglo XVI así como al siglo XVII, marco temporal del origen y desarrollo de los métodos analíticos, claves para el avance hacia una comprensión profunda del número irracional. Finalmente, la Parte III arroja luz sobre la influencia que este trabajo de Lambert pudo tener en las generaciones posteriores, y más en general, acerca de la manera en la que el número irracional pasó de ser una mera cantidad (imagen clásica) a un objeto abstracto definido a través de objetos infinitos (imagen moderna). Este conocimiento más profundo del número irracional se refleja particularmente en las primeras demostraciones de trascendencia, y en este sentido un personaje clave es Joseph Liouville (1809_1882), no solo por sus propias aportaciones, sino por su enorme influencia a través de su Journal, de sus clases, y de la red de contactos internacional de la que gozaba, siendo Dirichlet un caso especialmente distinguido. En gran medida, la influencia de Liouville, que directa o indirectamente recibe la influencia de Lambert, es la responsable de los famosos resultados de Hermite y Lindemann sobre la trascendencia de e y de _, concepto _el de trascendencia_ que no se empezará a utilizar en su significado moderno de una forma sistemática hasta las últimas décadas del siglo XIX, principalmente gracias al trabajo de Dedekind.