Funciones zeta de variedades sobre cuerpos finitos

Abstract

La función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito se define como la función generatriz asociada a la sucesión obtenida al contar el número de puntos racionales de la variedad en las sucesivas extensiones finitas del cuerpo base. Dicho objeto codifica las propiedades aritméticas de la variedad y permite establecer una asombrosa conexión entre las mismas y la topología de la variedad cuando la vemos sobre los números complejas a través de las conjeturas de Weil, uno de los resultados matemáticas más importantes del siglo XX. En este trabajo estudiamos las principales características de la función zeta y demostramos las conjeturas en dos de los casos que motivaron al propio Weil a enunciarlas: las hipersuperficies diagonales y el caso de curvas.

The zeta function of a variety over a finite field is defined as the generating function associated with the sequence obtained by counting the number of rational points of the variety over the successive finite extensions of the ground field. This object encodes the arithmetic properties of the variety and allows us to establish an amazing connection between them and the topology of the variety when we see it over the complex numbers through the Weil’s conjectures, one of the most important mathematical results of the 20th century. In this dissertation we study the main characteristics of the zeta function and prove the conjectures in two of the cases that motivated Weil himself to state them: the diagonal hypersurfaces and the case of curves.