Una visión actual sobre los puntos singulares de una ecuación diferencial lineal en una variable compleja

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es introducirse en el uso de técnicas algebraicas y topológicas modernas, como el Álgebra Homológica y la Teoría de Haces, para el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales en una variable compleja. Con estas nuevas herramientas, realizaremos una revisión de los resultados clásicos de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, reformulándolos en términos de esta reciente teoría. Así, partiendo del clásico Teorema de Cauchy sobre las soluciones de una ecuación diferencial lineal y pasando por el estudio de las soluciones multiformes, llegaremos hasta la Teoría de Fuchs sobre los puntos singulares y el Teorema del Índice de Komatsu-Malgrange, que nos ofrecerá un método algebraico para medir la no regularidad de un punto singular.

The main purpose of this work is to introduce the use of algebraic techniques, such as Homo logical Algebra and Sheaf Theory, developped since the middle of the 20th century, in order to study linear differential equations in one complex variable. With these new tools, we will review the classical results of the theory of linear differential equations in terms of this recent theory. We will depart from the classical Cauchy Theorem about the solutions of a linear differential equation, and going through the study of multivalued functions, we will reach the Fuchs Theory about sin gular points and the Komatsu-Malgrange Index Theorem, which establishes an algebraic method to measure the non-regularity of a singular point.