Teorema de Dirichlet para Progresiones Aritméticas

Abstract

Prime numbers aroused the curiosity of many for centuries, and they keep answering many questions that come up currently. Euclid carried out the first prove about the infinitude of prime numbers in his time. What we now call Euclid’s Theorem drove numerous proves of itself. In the XVIII century, Euler achieved the connection of the study of prime numbers with the Riemann Zeta function with the help of the Euler product 휁(푠) = ∑ 푛∈ℕ 1 푛 푠 = ∏ 푝 푃 푟푖푚표 1 1 − 푝 −푠 proving the Euclid’s theorem with this new tool. Our aim is to generalise this result to the arithmetic sequences {푎 + 푚푘 | 푎, 푚 ∈ ℕ xed, gcd(푎, 푚) = 1, 푘 ∈ ℕ0 } This is the Dirichlet’s Theorem on arithmetic progressions, which states the existence of infinite prime numbers in each of this sets. We will give a classical prove making use of some results on Analytic Number Theory regarding the Riemann Zeta function and its derivatives applied to some Algebraic Number Theory issues on cyclotomic extensions, guiding ourselves primarily by Ribenboim’s book[7]. We will start going over extensions in algebraic number fields and Dedekind domains, which we can find in the Neukirch book[5], followed by a brief introduction to ideal clases and the group of units of a number field. Understanding this concepts and applying them on cyclotomic fields is key to show the relationship between prime ideals and Dirichlet’s theorem, the goal of this dissertation. Once we are finish with the main issue we can proceed with some extra results on the density of this families of prime numbers, which is related to the Euler’s totient function, as well as getting closer with more general results like Chevotarev’s density making the same observations over any number field,

Los números primos han suscitado la curiosidad de muchos durante siglos, y siguen dando respuesta a muchas de las preguntas que surgen en la actualidad. Euclides desarrollo en su época la primera prueba sobre la infinitud de los números primos. Lo que hoy llamamos Teorema de Euclides impulsó numerosas pruebas del mismo. En el siglo XVIII, Euler consiguió relacionar el estudio de los números primos con la función Zeta de Riemann con lo que llamamos producto de Euler 휁(푠) = ∑ 푛∈ℕ 1 푛 푠 = ∏ 푝 푃 푟푖푚표 1 1 − 푝 −푠 llegando a probar el Teorema de Euclides con su nueva herramienta de estudio. Nuestro objetivo es generalizar este resultado a series aritméticas de la forma {푎 + 푚푘 | 푎, 푚 ∈ ℕ jados, gcd(푎, 푚) = 1, 푘 ∈ ℕ0 } Se trata del teorema de Dirichlet para progresiones aritméticas, el cual dice que existen infinitos primos en cada uno de estos conjuntos. Daremos una demostración clásica usando algunos resultados sobre Teoría Analítica de Números respecto a la función Zeta de Riemann y sus derivados aplicados a resultados algebraicos sobre extensiones ciclotómicas guiándonos principalmente por el libro de Ribenboim[7]. Empezaremos haciendo un repaso sobre las extensiones de cuerpos de números algebraicos y dominios de Dedekind con resultados que podremos encontrar en el libro de Neukirch[5], seguido del desarrollo breve de las clases de ideales o el grupo de unidades de un cuerpo de números. Entender estos conceptos y aplicarlos correctamente a extensiones ciclotómicas será la clave para ver la relación entre los ideales primos en ellas y el teorema de Dirichlet, objetivo de nuestro trabajo. Una vez finalizado el tema principal podremos dar algún resultado extra sobre la densidad de familias de números primos, que tendrá que ver con la función indicatriz de Euler, además de aproximarnos ligeramente a resultados más generales como el densidad de Chevotarev que hace estas mismas observaciones sobre un cuerpo de números cualquiera.