Operadores No Acotados en Espacios de Hilbert y su relación con la Mecánica Cuántica

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es el de desarrollar una demostración del Teorema Espectral de Operadores Autoadjuntos No Acotados definidos sobre Espacios de Hilbert y estudiar sus aplicaciones en el contexto de la Mecánica Cuántica. Para ello, estudiamos la estructura de ´algebra de Banach, construidas a partir de la mejor conocida de espacio de Banach, buscando construir también la denominada Transformada de Gelfand, concepto en torno al cual se enuncia uno de los teoremas que resultarían de mayor importancia para el desarrollo matemático que se realiza posteriormente en el trabajo: el Teorema de Gelfand-Naimark. Así mismo, estudiamos la generalización a operadores no necesariamente acotados de los conceptos asociados a los operadores definidos sobre espacios de Hilbert en el caso acotado; en particular, estudiamos la extensión del concepto de operador autoadjunto e introducimos los conceptos de operador simétrico y operador esencialmente acotado, buscando condiciones suficientes para que un operador simétrico pueda extenderse, en el sentido en que lo definiremos dentro del propio trabajo, a un operador autoadjunto. Por otro lado, estudiaremos también el concepto de medida espectral, que sería el concepto en torno al que construiremos la Representación Espectral de un operador autoadjunto como una integral respecto de este tipo de medida.Tras el desarrollo de estos conceptos teóricos, abordaremos la demostración del Teorema Espectral construyendo un cálculo funcional para operadores normales a partir de funciones medibles Borel e introduciendo también la Transformada de Cayley. Una vez demostrado el Teorema Espectral, expondremos los postulados de la Mecánica Cuántica y estudiaremos su formulación en los términos en que se ha desarrollado la teoría matemática de este trabajo; concretamente, veremos cómo el Teorema Espectral nos permite definir con rigor algunos conceptos del ámbito de esta rama de la Física. Por ´ultimo, estudiaremos la resolución del operador hamiltoniano de dos sistemas físicos bien conocidos y obtendremos la resolución espectral de estos hamiltonianos haciendo uso del Teorema Espectral.

Our main goal throughout this work consists in developing a proof of the Spectral Theorem of Non-bounded Self-adjoint Operators defined in Hilbert Spaces and applying this result in the context of Quantum Mechanics. To do so, we begin studying the mathematical structure of Banach algebras, which are built from Banach spaces, in order to introduce the Gelfand transform, from which we will develop a proof of Gelfand-Naimark theorem. Likewise, we study how to generalize the concepts related with operators defined over Hil bert Spaces from bounded to non-bounded case; particularly, we study the extension of the concept of self-adjoint operator and we introduce the concepts of simmetric and essentially self-adjoint operators, looking for sufficient conditions for a simmetric operator to be able to be extended to a self-adjoint operator, in the sense that we will define this extension. On other hand, we will develop the theory around the concept of spectral measures, from which we will build the Spectral Resolution of a self-adjoint operator as a integral with respect to this kind of measures. After the development of the basic theoretical concepts, we will start with the proof of the Spectral Theorem by giving a functional calculus for normal operators from Borel measurable functions and introducing the Cayley transform. Once we have proved the Spectral Theorem, we will present the Quantum Mechanics postulates and we will study how to apply the mathematical theory we have developed in order to rigorously formulate these postulates; specifically, we will use the Spectral Theorem to rigorously define some concepts that will be related with this branch of Physics. Finally, we will solve the hamiltonian of two well known physical systems and we will obtain the spectral resolution of these hamiltonians from the Spectral Theorem.