La transformada de CAUCHY de medidas en la circunferencia unidad

Abstract

Una transformada de Cauchy es una función holomorfa, definida en el disco unidad del plano complejo, y construida, por integración, a partir de una medida boreliana compleja en la circunferencia unidad. Dicha construcción hace que algunas propiedades de tal función se deduzcan directamente de las propiedades de la medida de la que proviene. En particular, cuando se profundiza en este estudio, aparece una estrecha relación entre el espacio de las transformadas de Cauchy y los espacios de Hardy de funciones analíticas en el disco unidad. Esta relación sugiere el estudio de la transformada de Cauchy como un operador lineal definido sobre un espacio de medidas. Con esta visión se obtienen muchos de los resultados que se estudian en este trabajo: la relación con la transformada de Poisson, con la proyección de Riesz o con la derivada de una medida, por ejemplo. También se aborda, en el trabajo, el estudio del espacio de transformadas de Cauchy. Más concretamente, su visión como espacio de Banach, el estudio de la convergencia en norma, o ciertas propiedades de factorización. Vemos, por tanto, que el estudio de la transformada de Cauchy no se restringe al campo de la teoría de la medida, sino que sus resultados más característicos se dan a través del uso de herramientas propias del análisis funcional o la variable compleja.

A Cauchy transform is an holomorphic function, defined on the unit disk of the complex plain, and constructed, by integration, from a complex Borel measure on the unit circumference. This construction is such that it allows to relate the properties of a measure and its transform. In particular, when this relation is studied, the space of Cauchy transforms seems to be linked with Hardy spaces of analytic functions on the unit disk. This link suggests that the Cauchy transform can be studied as a lineal operator on the space of complex Borel measures. In this way, the most rele vant results in this field (the connection with Poisson transform, with Riesz projection or with the derivative of a measure, among others) are obtained. The vision of the space of Cauchy transforms as a Banach space is also approached, studying its norm convergence, and some properties related with the factorization of such space. As this introduction induces, the concepts and proceedings we will use as we develope the study of the Cauchy transform will not only come from the Measure Theory, but also from Functional Analysis and the field of Complex Variables