Sobre una propiedad de la familia de Distribuciones Binomiales Simétricas detectada por Blaise Pascal (1654) en su resolución del problema de los puntos

Abstract

El Problema de los Puntos consiste en determinar cómo debe ser dividido el total apostado cuando un juego ha concluido prematuramente. Supongamos dos jugadores A y B que apuestan una misma cantidad por ser el primero en ganar n puntos en un juego en el que el ganador de cada punto se decide con el lanzamiento de una moneda justa, cara para A y cruz para B. Si dicho juego es interrumpido cuando a A aún le faltan a puntos y a B le faltan b, ¿cómo se repartirá el total apostado entre ambos? Para cada juego (a,b) con b fijo y a = 0,1,...,b , Pascal encuentra la fracción de la apuesta de B ganada por A. Para estas fracciones, Pascal demuestra que el valor de un punto ganado, la fracción del juego (a,b) menos la fracción del juego (a +1,b) es igual a la probabilidad de una distribución binomial simétrica. Cuando a = 0 , el valor de ganar un punto es llamado por Pascal como el valor de la primera partida ganada por el jugador A. Igualmente, calcula los valores de la segunda partida ( a =1), tercera ( a = 2 ), cuarta ( a = 3) y quinta ( a = 4 ). Pascal calcula una tabla con cinco filas, los valores de los juegos ( a = 0,1,2,3,4 ), y 6 columnas ( b = 6,5,4,3,2,1) y observa que las tres primeras filas crecen cuando b decrece, pero la cuarta y quinta decrecen cuando b decrece. El autor no comprende esta característica de su tabla. Con el Triángulo Aritmético de Pascal la probamos y demostramos una propiedad de la distribución binomial simétrica.

The Problem of Points involves determining how the total stake should be equitably divided when a game is terminated prematurely. Suppose two players A and B stake equal money on being the first to win n point in a game in which the winner of each point is decided by the toss of a fair coin, heads for A and tails for B. If such a game is interrupted when A still lacks a points and B lacks b, how should the total stake be divided between them? For each game (a,b), with b fixed and a = 0,1,…,b, Pascal finds the fraction of B’s stake going to A. From theses fractions, Pascal shows that the value of wining a point, the fraction of the game (a,b) minus the fraction of the game (a+1,b), equals the symmetric binomial probability. When a = 0, the value of winning a point is called by Pascal the value of game first won by player A. Equally, calculates the values of games second (a = 1), third (a = 2), fourth (a = 3) and fifth (a = 4). Pascal calculates a table with five rows, the values of the games (a = 0,1,2,3,4), and six column (b = 6,5,4,3,2,1). Pascal observes that the first three rows grow when b decreases, but the fourth and fifth rows decrease when b decreases. Pascal does not understand theses features of his table. From the Pascal’s Arithmetical Triangle we prove the features of Pascal’s table and we note one property of the symmetric binomial probability.