Tesis (Matemática Aplicada I)

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A 2D Tissue Micropatterning Programs the 3D Curvature of Compound Eyes
(2026-01-15) Garrido García, Juan; Escudero Cuadrado, Luis María; Márquez Pérez, Alberto; Biología Celular; Matemática Aplicada I
La relación entre forma y función en biología se manifiesta de manera especialmente clara en los ojos compuestos de insectos y crustáceos, cuya curvatura determina su rendimiento visual. En Drosophila melanogaster, esta curvatura no es uniforme, lo que permite especializaciones funcionales, pero los mecanismos que regulan dicha anisotropía eran hasta ahora desconocidos. En esta tesis se demuestra que el ojo compuesto en desarrollo actúa como un metamaterial biológico capaz de programar genéticamente su curvatura tridimensional. Antes de que la retina adquiera su forma final, se organiza una red supracelular con disposición triangular cuya variación en el tamaño de los triángulos anticipa la geometría del ojo adulto. Mediante modelos físicos y simulaciones computacionales de mallas triangulares sometidas a presión, se comprobó que el patrón observado en Drosophila melanogaster reproduce la curvatura real del ojo, mientras que patrones uniformes generan formas incorrectas. Este mecanismo se conserva evolutivamente en Drosophila mauritania. Alteraciones genéticas que desestabilizan la red basal producen curvaturas irregulares, lo que confirma su papel instructivo. En conjunto, estos resultados revelan un nuevo principio de morfogénesis basado en el patrónado 2D como codificador de curvatura 3D, con implicaciones para la biología del desarrollo, la morfogénesis sintética y la ingeniería de tejidos.
Constant Mean Curvature Annuli with free Boundary
(2025-10-28) Cerezo Cid, Alberto; Fernández Delgado, Isabel; Mira Carrillo, Pablo; Matemática Aplicada I
In this thesis we investigate the existence of non-rotational compact surfaces of con-stant mean curvature, diffeomorphic to an annulus, that have free boundary in a ball of a 3-dimensional space of constant curvature. Such surfaces appear naturally when one considers the classical partitioning problem of finding critical points of the area func-tional among surfaces that divide the ball into two pieces of prescribed volumes. The free boundary condition means, in this context, that the surface and the ball intersect orthogonally along the boundary. Our constructions are based on the ansatz of studying surfaces of constant mean curvature that are foliated by spherical curvature lines. This means that each curve of the foliation lies in a totally umbilical surface of the ambient manifold, and both surfaces meet at a constant angle along the curve. A general study of such surfaces is presented in Chapter 2. In Chapter 3 we construct non-rotational free boundary constant mean curvature annuli in the unit ball of Euclidean 3-space that are embedded, i.e., they do not self-intersect. This solves in the negative a 1995 open problem by Wente. In Chapter 4 we extend this theorem to free boundary constant mean curvature annuli in geodesic balls of the 3-dimensional sphere and the 3-dimensional hyperbolic space. This time, the embeddedness property of the examples is only true for some values of the mean curvature. For other values, like the case of minimal surfaces in the 3-sphere, we construct free boundary annuli with self intersections. In Chapter 5 we use a deformation procedure to obtain free boundary minimal annuli in geodesic balls of the hyperbolic space. All of them are non-embedded. In Chapter 6 we study capillary minimal surfaces, where the capillarity assumption means here that the intersection angle with the ball is constant along the boundary, but not necessarily orthogonal. In that situation, we find families of non-rotational em-bedded capillary minimal annuli in the unit ball that present a Delaunay-type pattern, interpolating between a piece of a catenoid and a chain of vertical flat disks. Finally, by studying the images of these annuli via the Gauss map, we give a counterexample to a 2005 conjecture by Souam regarding the radial symmetry of solutions to an overde-termined Schiffer-type problem in the 2-dimensional sphere.
Barcodes of Persistence Modules: from Summaries to Matchings
(2023-05-16) Soriano Trigueros, Manuel; González Díaz, Rocío; Jiménez Rodríguez, María José; Matemática Aplicada I
During recent decades, the application of topology to data analysis has experienced a revolution due to persistent homology. Persistent homology and its barcode representation offer many advantages to data analysis, such as the stability of the results and the possibility of quantifying qualitative geometric and topological features. The aim of this thesis is to enrich the existing knowledge about persistent homology and barcodes from three different perspectives. Each of these perspectives has led to a publication that together constitute the core of this thesis. First, from a statistical perspective, we study the stability properties of persistent entropy, a variable used to compare barcodes. In addition, we propose a new barcode vectorization method based on persistent entropy, which is more suitable for machine learning than persistent entropy itself. Second, from an applied perspective, we use barcode summaries to study the geometric and topological features of 2D images of epithelial cells. Lastly, from the algebraic perspective, we study how we can induce a partial matching between barcodes from a morphism between persistence modules, the algebraic structure underlying persistent homology. This study has led to the definition of an operator for such morphisms, called the induced block function. Moreover, we study some of its theoretical properties, such as linearity with respect to direct sums, and provide an algorithm to compute it in polynomial time.
On the generalised phase kick-back and its applications
(2024-04-04) Pastor Díaz, Ulises; Ossorio Castillo, Joaquín; Tornero Sánchez, José María; Álgebra; Matemática Aplicada I
La computación cuántica es una rama que ha adquirido creciente relevancia en los últimos tiempos, sobre todo tras el descubrimiento por parte de Peter Shor en los años 90 de un algoritmo para factorizar enteros de forma eficiente. Este resultado, que tiene importantes implicaciones en criptografía, sumado al avance que en los últimos años se ha producido a nivel técnico en el desarrollo de ordenadores cuánticos viables, hace necesario desarrollar nuevos criptosistemas resistentes a las técnicas de computación cuántica. Sin embargo, lo que se sabe sobre las limitaciones y posibilidades que ofrece este modelo de computación es todavía poco. En esta tesis, nos planteamos arrojar algo de luz a esta cuestión, estudiando la generalización de una de las técnicas más elementales y centrales en el desarrollo de algoritmos cuánticos: el phase kick-back. El algoritmo que construimos usando este denominado Generalised Phase Kick-Back, o GPK, permite resolver problemas como las versiones generalizadas de los problemas de Deutsch-Jozsa y Bernstein- Vazirani, pero eso no es todo. Gracias al estudio de su aplicación en la resolución de un nuevo problema que es a su vez una generalización de los dos mencionados anteriormente, el problema FBI, podemos estudiar la relación que esta técnica tiene con las transformadas de Fourier-Hadamard y Walsh, así como con el problema del balanceo. Además, se expone una resolución del problema de Simon que, empleando esta técnica, mejora la que ofrece el algoritmo de Simon, tanto en la versión habitual como en la generalizada.
Homological Spanning Forests for Discrete Objects
(2012-06-03) Molina Abril, Helena; Real Jurado, Pedro; Matemática Aplicada I
Computing and representing topological information form an important part in many applications such as image representation and compression, classification, pattern recognition, geometric modelling, etc. The homology of digital objects is an algebraic notion that provides a concise description of their topology in terms of connected components, tunnels and cavities. The purpose of this work is to develop a theoretical and practical frame- work for efficiently extracting and exploiting useful homological information in the context of nD digital images. To achieve this goal, we intend to combine known techniques in algebraic topology, and image processing. The main notion created for this purpose consists of a combinatorial representation called Homological Spanning Forest (or HSF, for short) of a digital object or a digital image. This new model is composed of a set of directed forests, which can be constructed under an underlying cell complex format of the image. HSF’s are based on the algebraic concept of chain homotopies and they can be considered as a suitable generalization to higher dimensional cell complexes of the topological meaning of a spanning tree of a geometric graph. Based on the HSF representation, we present here a 2D homology-based framework for sequential and parallel digital image processing.
Computational topology on neural networks: from the data to the model
(2021) Paluzo Hidalgo, Eduardo; González Díaz, Rocío; Gutiérrez Naranjo, Miguel Ángel; Matemática Aplicada I
Machine learning is drawn from a dataset that needs to be explained. Following this aim, a model is described to make predictions. These datasets can be of very different nature, as well as the problems they pose: supervised or unsupervised classification, regression... In this work, we have studied, from a computational topology point of view, two machine learning’s pillars: the datasets considered as sets of =-dimensional points, and a specific model, artificial neural networks. we have applied topological data analysis techniques to classify literary trends from a literature dataset and to reduce the size of datasets controlling the loss of information, and, finally, we have developed a new neural network architecture based on simplicial complexes and the maps defined between them, and we have also proved certain properties such as that the new family of neural networks are universal approximators and robust to "adversarial examples".
Computational Homology Applied to Discrete Objects
(2016-11-24) González Lorenzo, Aldo; Mari, Jean-Luc; Bac, Alexandra; Real Jurado, Pedro; Matemática Aplicada I
Homology theory formalizes the concept of hole in a space. For a given subset of the Euclidean space, we define a sequence of homology groups, whose ranks are considered as the number of holes of each dimension. Hence, β0, the rank of the 0-dimensional homology group, is the number of connected components, β1 is the number of tunnels or handles and β2 is the number of cavities. These groups are computable when the space is described in a combinatorial way, as simplicial or cubical complexes are. Given a discrete object (a set of pixels, voxels or their analog in higher dimension) we can build a cubical complex and thus compute its homology groups. This thesis studies three approaches regarding the homology computation of discrete objects. First, we introduce the homological discrete vector field, a combinatorial structure which generalizes the discrete gradient vector field and allows us to compute the homology groups. This notion allows us to see the relation between different existing methods for computing homology. Next, we present a linear algorithm for computing the Betti numbers of a 3D cubical complex, which can be used for binary volumes. Finally, we introduce two measures (the thickness and the breadth) associated to the holes in a discrete object, which provide a topological and geometric signature more interesting than only the Betti numbers. This approach provides also some heuristics for localizing holes, obtaining minimal homology or cohomology generators, opening and closing holes.
Clasificación y estudio de extensiones centrales de ciertas álgebras no asociativas
(2021-03-16) Kaygorodov, Ivan; Camacho Santana, Luisa María; Matemática Aplicada I
La clasificación de álgebras es un importante problema en el Álgebra Moderna. En estos trabajos de investigación, nos centramos en la clasificación algebraica, esto es, en el problema de encontrar todas las ´algebras, salvo isomorfismos de una cierta dimensión. Concretamente, en la clasificación de álgebras a través de extensiones centrales. Este tipo de extensiones han sido muy estudiadas en Física. Los artículos que presentamos en esta memoria tratan el problema de clasificar algebraicamente diferentes clases de álgebras no asociativas haciendo uso de extensiones centrales. Entre las clases de álgebras tratadas, nos centramos en las nilpotentes y entre ellas están las álgebras de Zinbiel (todas nilpotentes), las de Novikov, las anticonmutativas, las de Mock Lie duales y las de Tortkara. Para obtener las clasificaciones, adaptamos y aplicamos el método de Skjelbred– Sund para las álgebras indicadas arriba obteniendo algunas clasificaciones nuevas en dimensiones pequeñas de dichas clases de álgebras. Los resultados obtenidos son novedosos y de gran interés en el área de las álgebras no asociativas. Dichos resultados han sido publicados en revista de alto impacto en el área de investigación tratada.
Álgebras de Lie con invariante de Goze dado
(1999-11) Rodríguez García, Isabel María; Gómez Martín, José Ramón; Matemática Aplicada I
Se presentan algunos resultados algebraicos enmarcados dentro de losproblemas de clasificación de las álgebras de Lie nipotentes , en dimensión cualquiera, así como algunas aplicaciones geométricas. En concreto se obtienen algunos resultados en los casos de nilpotencia 2 y 3. Se obtienen las familias genéricas de leyes de álgebras de Lie metabelianas, es decir aquellas que tienen invariante de Goze (2,...2, 1,...1), obteniéndose la clasificación efectiva en los casos p=2 y p=3 de cuando dim(C1(g)) > p. En el caso general se obtiene la clasificación en el caso de que dim(C1(g)) es maximal. A continuación se obtienen los espacios de derivaciones de las familias de álgebras obtenidas, así como algunas aplicaciones geométricas. En el capítulo 3 se obtienen algunos resultados en el caso de índice de nilpotencia 3, en concreto para los casos de invariante de Goze (3,2,1...1) y (3,3,1...1) obteniéndose la clasificación explícita en algunos casos concretos en función de la dimensión de la derivada. Por último, se calculan también las álgebras de derivaciones de las álgebras obtenidas, por su importacia para la obtención de algunas aplicaciones geométricas
Grupos de lie conexos en relación con sus subgrupos uniparamétricos
(1976-09-30) Mateos Mateos, Felipe; Echarte Reula, Francisco Javier; Matemática Aplicada I
Familias de leyes de álgebras de Lie nilpotentes
(1995-03-28) Jiménez Merchán, Antonio; Gómez Martín, José Ramón; Matemática Aplicada I
• Se presentan en esta memoria resultados que pueden ser enmarcados dentro de los problemas de clasificación de algebras de lie, en la primera parte se da un algoritmo que genera, en tiempo polinomial, familias de leyes de algebras de lie filiformes de dimensión n. se obtiene, de la aplicación del algoritmo a través de su implementación en un lenguaje formal, una parametrización del conjunto algebraico afín formado por la familia de leyes filiformes de dimensión 11; posteriormente, se presenta también una parametrización de la familia de leyes filiformes de dimensión 12. Cuando se considera la filtración natural que produce la sucesión central descendente de un algebra de lie nilpotente, se obtiene un algebra graduada finita que, en cierto modo, constituye el "esqueleto" del algebra que se considera. Estas algebras graduadas están determinadas en el caso filiforme. Las algebras casifiliformes son las que tienen una sucesión característica inmediatamente inferior a las filiformes. En la segunda parte de esta memoria se obtiene la clasificación de las algebras graduadas casifiliformes en cualquier dimensión finita. Los resultados dan una explicación al diferente grado de dificultad en la clasificación de las algebras de lie filiformes y casifiliformes, en términos del número de algebras graduadas no isomorfas que se obtienen.
Dynamical systems applied to consciousness and brain rhythms in a neural network
(2020-04-21) Galadí García, Javier Alejandro; Langa Rosado, José Antonio; Caraballo Garrido, Tomás; Matemática Aplicada I
This thesis applies the great advances of modern dynamical systems theory (DST) to consciousness. Consciousness, or subjective experience, is faced here in two different ways: from the global dynamics of the human brain and from the integrated information theory (IIT), one of the currently most prestigious theories on consciousness. Before that, a study of a numerical simulation of a network of individual neurons justifies the use of the Lotka-Volterra model for neurons assemblies in both applications. All these proposals are developed following this scheme: • First, summarizing the structure, methods and goal of the thesis. • Second, introducing a general background in neuroscience and the global dynamics of the human brain to better understand those applications. • Third, conducting a study of a numerically simulated network of neurons. This network, which displays brain rhythms, can be employed, among other objectives, to justify the use of the Lotka-Volterra model for applications. • Fourth, summarizing concepts from the mathematical DST such as the global attractor and its informational structure, in addition to its particularization to a Lotka-Volterra system. • Fifth, introducing the new mathematical concepts of model transform and instantaneous parameters that allow the application of simple mathematical models such as Lotka-Volterra to complex empirical systems as the human brain. • Sixth, using the model transform, and specifically the Lotka-Volterra transform, to calculate global attractors and informational structures in global dynamics of the human brain. • Seventh, knowing the probably most prestigious theory on consciousness, the IIT developed by G. Tononi. • Eighth, using informational structures to develop a continuous version of IIT. And ninth, establishing some final conclusions and commenting on new open questions from this work. These nine points of this scheme correspond to the nine chapters of this thesis.
Hipergrafos orientados
(1974-06) Ariza Granados, Francisco; Castro Brzezicki, Antonio de; Matemática Aplicada I
Minimalidad y J (4, ±2)
(1975-06-03) Alcaraz Martínez, Antonio; Echarte Reula, Francisco Javier; Matemática Aplicada I
Polinomio de tutte de teselaciones regulares
(2004-10-14) Garijo Royo, Delia; Márquez Pérez, Alberto; Revuelta Marchena, María Pastora; Matemática Aplicada I
En eta memoria estudiamos diversos aspectos del polinomio de Tutte de una teselación regular. Comenzamos introduciendo algunas definiciones y resultados significativos de Teoría de Grafos. En primer lugar nos centramos en el cálculo del polinomio de Tutte de Teselaciones o masaicos del plano mediante cuadrados, triángulos , hexágonos y las posibles combinaciones de estos tres tipos de polígonos regulares, además de estudiar diversos problemas de enumeración en varias áreas de matemáticas relacionados con dicho polinomio. Ofrecemos un sistema que permite codificar estructuras en principio tan dispares como las teselaciones regualeres del plano, y un algoritmo efectivo que automatiza la llamada definición recursiva del polinomio de Tutte, y que permite el cálculo de dicho polinomio de fragmentos de teselaciones de grandes dimensiones. Hacemos hincapié en la importancia de este algoritmo ya que permite por primera vez alcanza dimensiones considerables, no solo en fragmentos de la malla cuadrada, sino en fragmentos de cualquier teselación plana mediante cuadrados, triángulos y hexágonos. Este avance supone el poder mejorar cotas de límites aasintóticos y el poder obtener importantes resultados en problemas de enumeración en Teoría de Grafos: el cálculo de orientaciones acíclicas y el cálculo de números de Whitney; y en dos problemas clásicos de Geometría, el cálculo del número de celdas en que arreglos de hiperplanos dividen a espacios euclídeos de altas dimensiones y el cálculo del número de vértices de un zonotopo. Dejando a un lado los problemas de enumeración, nos preguntamos hasta qué punto el polinomio de Tutte determina el grafo al cual está asociado. Esta cuestión surge debido a la cantidad de invariantes asociados a un grafo contenidos en el polinomio de Tutte. En esta memoria demostramos la existencia de grandes familias de grafos que tienen esta propiedad de unicidad, a la que denominamos Tutte unicidad. Las tres familias estudiadas son los grafos localmente cuadriculados, las teselaciones hexagonales y los grafos localmente C6. Todas ellas tienen en común la propiedad de ser localmente planas y esto va a permitir probar que todas estas familias de grafos son localmente orientables, herramienta necesaria para demostrar su Tutte unicidad. En primar lugar probamos que los grafos locamente cuadriculados están unívocamente determinados por su polinomio de Tutte. A continuación clasificamos las teselaciones hexagonales y los grafos localmente C6. Estas clasificaciones adquieren gran importancia, a partir de por su propia complejidad, por ser la rectificación de la clasificación dada por Thomassen en 1991. Estudiamos además distintos invariantes asociados a estas familias de grafos y demostramos la existencia de una relación de menor con los grafos localmente cuadriculados. Por último, establecemos toda la maquinaria necesaria para demostrar la Tutte unicidad de estas familias y debido a la similitud del resto de los casos, que no aportan nada nuevo desde el punto de vista matemático, nos centramos en demostrar la Tutte unicidad de la teselación hexagonal toroidal. Con la demostración de la Tutte unicidad de los grafos localmente cuadriculados, las teselaciones hexagonales y los grafos localmente C6, es la primera vez que se prueba que existen grandes familias de grafos Tutte únicas. Como ya hemos comentado, la Tutte unicidad en matroides ha sido muy estudiada y se conocen grandes familias de matroides Tutte únicas. En el caso de los grafos, se ha estudiado la Tutte unicidad de algunas familias como los grafos multipartitos completos, hipercubos etc; pero los grafos localmente cuadriculados, las teselaciones hexagonales y los grafos localmente C6 se presentan como las primeras grandes familias de grafos Tutte únicas. Nos parece importante señalar que las dos familias de teselaciones hexagonales construidas a partir de las estructuras definidas como cilindros hexagonales torcidos, han completado el estudio realizado por Thomassen acerca de esta familia de grafos. Además, la clasificación de las teselaciones hexagonales permite la clasificación de los gráfos localmente C6; estableciéndose una relación de menor muy potente entre las tres familias de grafos estudiadas en esta parte de la memoria. Queremos resaltar que aunque, en el Capítulo 7, hemos demostrado únicamente la Tutte unicidad de la teselación hexagonal toroidal, la técnica desarrollada permite la demostración de la Tutte unicidad del resto de las teselaciones hexagonales. Además, esta técnica se puede reproducir para los grafos localmente C6, calculando las longitudes mínimas de los ciclos esenciales y el número de ciclos de dicha longitud. Pero nos gustaría ir más allá y demostrar la Tutte unicidad de estos grafos aprovechando la relación de dualidad que mantiene con las teselaciones hexagonales. En otras palabras, pensamos que al igual que en grafos planos, en los cuales se demustra que T (G; x, y) = T(G*; y, x), podemos probar una relación del tipo: T (G; x, y) = ƒ(x, y)T(G*, x, y) Siendo G un grafo localmente cuadriculado, una teselación hexagonal o un grafo localmente C6; y ƒ una función en dos variables que no dependa del grafo. Esta creencia se basa en el hecho de que todos los grafos pertenecientes a estas tres familias son localmente planos. Por otra parte, demostramos que los grafos localmente cuadriculados son Tutte único para p, q ≥ 6 pero nuestra técnica no se puede aplicar a los casos p = 3,4,5. Además, sería interesante demostrar que p’ ((q^'+ δ-1)¦δ) no es una potencia de 2. Esta demostración nos proporcionaría un resultado más general de la Tutte unicidad de T_(p,q)^δ y S_(p,q).
Grafos periódicos: Una familia de grafos infinitos que admiten una algorítmica constructiva
(1994-04-13) Dana Jiménez, Juan Carlos; Márquez Pérez, Alberto; Matemática Aplicada I
El objetivo de esta Tesis es definir una familia de grafos infinitos en la cual es posible construir una algorítmica finita. Se estudiará los grafos infinitos fundamentalmente por dos razones: una de ellas porque los grafos infinitos constituyen una estructura incluida dentro de las matemáticas y, por tanto, merece la pena su estudio; la otra razón es que, en realidad, conociendo soluciones de problemas que se plantean en grafos finitos, podemos trasladarlos para familias crecientes de grafos finitos (lo que en la literatura se conoce como Grafos Universales). En grafos infinitos, uno de los principales problemas que surgen es la forma de poder definirlos de manera que puedan ser tratados en el ordenador. En esta memoria, este problema es solventado definiendo los grafos de manera recurrente, es decir, definimos un grafo finito y, a partir de él y mediante reglas aritméticas, definimos los demás vértices y aristas del grafo infinito. Esta familia está constituida por grafo que llamaremos grafos periódicos. A pesar de lo restringida que pueda parecer esta familia de grafos, muchos ejemplos de grafos infinitos que surgen en la literatura se pueden incluir dentro de este contexto, como por ejemplo cabe citar los grafos tratados por B. Grünbaum y G.C. Shephard En “Tilings and Patterns”, Freeman, New York. Año 1987, los que surgen al resolver sistemas de ecuaciones en grafos (estudio que se recoge en M. Bauderon, “On System of Equations Defining Infinite Graphs”. C.N.R.S. prc. Mathematiques et Informatique); en teoría de probabilidades; los Diagramas de Cayley son ejemplos de grafos infinitos contenidos en esta familia, etc. Los algoritmos básicos que se emplean en la resolución de multitud de cuestiones en grafos finitos, son los algoritmos de conexión, construcción de un árbol generador y de planaridad. Como ejemplo de la construcción de una algorítmica para grafos periódicos, en este trabajo se construye un algoritmo que responde si el grafo periódico es conexo o no, un algoritmo que construye un árbol generador, y algoritmos que responden al problema de la planaridad de un grafo periódico y a la planaridad sin acumulación de vértices (p-planaridad). Los algoritmos aquí presentados para grafos periódicos, resuelven los problemas en tiempo polinomial. Pocos campos dentro de las matemáticas aparecen tan relacionados como pueden ser la Teoría de Grafos y la Algorítmica. Efectivamente, una parte importante de la Teoría de Grafos requiere o trata de la resolución algorítmica de los problemas que se plantean y, por otra parte, no existe otra vía más natural para introducirse en la algorítmica que la Teoría de Grafos, ya que las estructuras que se presentan en algorítmica permiten, de forma muy sencilla, introducirse en dicha disciplina. Por razones obvias, prácticamente la totalidad del esfuerzo desarrollado por la algorítmica en teoría de grafos queda limitado para el caso en que los grafos son finitos. Sin embargo, los grafos infinitos constituyen una estructura a la que se le ha dedicado relativamente poco estudio y esfuerzo, aunque tal vez merezca la pena dedicarle una mayor atención Fundamentalmente por dos razones: - La primera porque los grafos infinitos constituyen una estructura incluida dentro de las matemáticas y, por tanto, merece la pena su estudio. - Una segunda razón es que, en realidad, conociendo soluciones de problemas que se plantan en grafos finitos, podemos trasladarlos para familias crecientes de grafos finitos (lo que en la literatura se conoce como Grafos Universales). Por otra parte, y posiblemente sorprendente para muchos, últimamente se han desarrollado muchos métodos que permiten trabajar algorítmicamente en estructuras infinitas e incluso, dentro de la teoría de grafos, existen algunos esfuerzos por resolver problemas en grafos infinitos, tanto los que vienen definidos de una forma recursiva o bien generados por grafos finitos. Sin embargo, hay que decir que estos métodos señalados anteriormente es fácil comprobar que es imposible desarrollar una algorítmica similar a las clásicas existentes para grafos finitos (algorítmica que resuelve problemas como conexión de un grafo, planaridad, etc.) si los grafos están definidos de esa forma. Así por ejemplo, si un grafo viene definido de forma recursiva ni tan siquiera es posible desarrollar un algoritmo que responda si una arista dada es arista del grafo. Otra cuestión sería definir el grafo de forma recursivamente enumerable. En este caso es posible conocer, sin más que ir generando una lista, que evidentemente sería parcial, las aristas del grafo. Pero aún en este caso sería imposible desarrollar una algorítmica que, en tiempo finito, responda si el grafo es conexo o no (problema que es fundamental tenerlo resuelto, desde un punto de vista algorítmico en teoría de grafos). Para solventar estos problemas definiremos una familia de grafos infinitos como serán los grafos periódicos. Básicamente, un grafo periódico será la unión de todas las traslaciones, según vectores de Z2, de cierto grafo finito dado. A pesar de lo restringida que pueda parecer esta definición, muchos ejemplos de grafos infinitos que surgen en la literatura se pueden incluir dentro de este contexto, como por ejemplo cabe citar los grafos tratados por B. Grünbaum en “Tilings and Patterns”, los que surgen al resolver sistemas de ecuaciones en grafos, los diagramas de Cayley, etc. Cabe decir que, a lo largo de esta memoria trataremos de desarrollar una algorítmica sobre lo grafos infinitos anteriormente definidos. Para ello, lo que se hará será tratar tres problemas clásicos en la Teoría de Grafos finitos y la Algorítmica como son la conexión, existencia y construcción de un árbol generador, y el problema de la planaridad. Veremos que es posible desarrollar algoritmos que resuelvan, incluso en tiempo polinomial, dichos problemas. La memoria está organizada de la siguiente forma: Un primer capítulo de preliminares que recoge de una forma general las definiciones básicas de Teoría de Grafos y Algorítmica, así como algunos resultados que se utilizarán posteriormente. Anteriormente se ha definido la familia de grafos periódicos generados por un grafo finito como los trasladados en todo el plano de dicho generador. En el siguiente capítulo de este trabajo se resuelve el problema de la conexión para esta familia de grafos. A diferencia del caso finito, que para estudiar la conexión se parte de un vértice y se construye un árbol generador, para el caso de un grafo periódico se comprueba si este pertenece a una serie de ciertas familias definidas previamente, las cuales se intersectan en una subfamilia que definen a los grafos infinitos conexos. Una vez que se ha estudiado y resuelto el problema de la conexión para grafos periódicos, se presenta en este capítulo un algoritmo que, en tiempo O(n9), responde si dicho grafo es conexo o no, siendo n el número de componentes conexas que tiene el grafo finito que genera al periódico. En el caso en que el grafo periódico no es conexo, tenemos suficiente información sobre la cantidad y la forma que tienen sus componentes conexas. Así, dependiendo de las familias a las que pertenece el grafo periódico, éste podrá tener un número infinito de componentes finitas, un número finito de componentes infinitas, un número infinito de ellas, etc. Además, si el grafo finito que genera al periódico tiene n componentes conexas se tiene que, a lo más, existen n componentes en el grafo periódico que, mediante traslaciones de éstas, se obtienen todas las demás. Posteriormente, en el siguiente capítulo, se resuelve el problema de la construcción de un árbol generador (en la literatura spanning tree) para grafos periódicos conexos. Un primer resultado que se tiene es que un grafo periódico conexo siempre contiene ciclos, por lo que la estructura de árbol infinito no podemos definirla como grafo periódico. Por lo tanto, se amplía la definición de la familia de los grafos periódicos a otra familia, formada por lo que se llamarán grafos periódicos generalizados, de forma que un grafo periódico generalizado no será más que una unión finita de grafos periódicos. Se verá que dentro de esta familia podemos encontrar grafos infinitos sin siclos y se demostrará que todo grafo periódico conexo contiene, en la familia ampliada, un subgrafo suyo que es árbol generador. Después de las bases teóricas que demuestran que siempre existe un árbol generador de un grafo periódico conexo, se presenta un algoritmo que, en tiempo O(n4), construye dicho árbol, definiéndolo como un grafo periódico generalizado. En el caso en que el grafo periódico no sea conexo, se tiene que existe un subgrafo de él que contiene generadores de todas las componentes conexas del periódico. Bastará con aplicar dicho algoritmo a cada componente conexa. Por último se estudia el problema de la planaridad y la planaridad sin acumulación de vértices (en la literatua p-planaridad) para grafos periódicos, haciendo distinción en toda la casuística posible según como puedan ser las componentes conexas de dicho grafo periódico. Al igual que en los otros capítulos, se presenta un algoritmo que, en el peor de los casos en tiempo O(m2), con m el número de vértices del grafo finito que genera al periódico, resuelve el problema de la planaridad y el de la planaridad sin acumulación de vértices. Al final de cada capítulo hemos preferido presentar conclusiones y problemas abiertos, pues se ha creído que podría contribuir a fijar el alcance y una posible prolongación de los temas estudiados y de otros temas mencionados. Por último se da una sección dedica a la bibliografía empleada, así como las referencias básicas que se han utilizado para el desarrollo de este trabajo.
Graduaciones naturales de álgebras de Leibniz
(2004-09-03) González Regaña, Alfonso José; Camacho Santana, Luisa María; Gómez Martín, José Ramón; Matemática Aplicada I
Las álgebras de Leibniz fueron introducidas por Loday hace apenas una década y constituyen, en un cierto sentido, una generalización de las álgebras de Lie en cuanto que se suprime de la definición de estas últimas la condición de antisimetría. Cuando se considera la filtración natural que produce la sucesión central descendente de un álgebra de Leibniz nilpotente L, se obtiene un álgebra graduada finita que, en cierto modo, constituye la estructura básica del álgebra que se considera y que, cuando es isomorfa a L, se dice que está graduada naturalmente. Un álgebra de Leibniz de dimensión n se dice p-filiforme si su sucesión característica es (n-p, 1, …, 1). La clasificación de las álgebras de Leibniz graduadas naturalmente en dimensión arbitraria se conoce en los casos nulfiliforme (ó 0-filiforme) y 1-filiforme. En este trabajo se obtiene la clasificación completa de las álgebras de Leibniz 2-filifromes y 3-filiformes graduadas naturalmente, en dimensión arbitraria finita n, para n ≥ 8.
Multilayer methods for geophysical flows: modelling and numerical approximation.
(2018-06-08) Garres-Díaz, José; Narbona Reina, Gladys; Fernández Nieto, Enrique Domingo; Matemática Aplicada I
Esta tesis se enmarca en el ámbito de la Matemática Aplicada y la Mecánica de Fluidos Computacional. Concretamente, aborda el modelado matemático y la simulación numérica de flujos geofísicos mediante modelos multicapa. Las contribuciones principales se encuentran en los Capítulos 2, 3 y 4. En el Capítulo 1 se revisa brevemente la aproximación multicapa para las ecuaciones de Navier-Stokes con viscosidad constante, así como el procedimiento para obtener un modelo multicapa. Las avalanchas granulares se han estudiado principalmente mediante modelos integrados. Sin embargo, esos modelos no reproducen variaciones en tiempo de los per les de velocidad. En el Capítulo 2 se presenta un modelo multicapa para avalanchas granulares secas considerando una viscosidad variable de nida por la ley constitutiva (I). En este modelo no se prescribe el per l normal de velocidad horizontal, lo que permite reproducir fuertes cambios en tiempo de estos per les. En el Capítulo 3 se extiende el modelo multicapa anterior al caso de una masa granular con nada en un canal rectangular, para lo que se añade un nuevo término de fricción en las paredes laterales. Se presenta también un esquema numérico bien equilibrado para este modelo, con un tratamiento espec co de los términos correspondientes a la fricción y la reologa. Se muestra que el término de fricción lateral modi ca signi cativamente la evolución de la avalancha. En particular, altera completamente el per l vertical de velocidad, dando lugar a zonas donde el material queda estático bajo una capa superior que se mueve. As mismo, se prueba que incluir el término de fricción lateral en modelos integrados de una capa puede dar lugar a soluciones carentes de sentido desde el punto de vista físico. En el Capítulo 4 se presenta una discretización semi-implícita en tiempo para modelos multicapa, para los que se obtiene una condición CFL menos restrictiva en el caso de un flujo subcrítico, lo que permite reducir notablemente el coste computacional. La descripción multicapa propuesta es novedosa, ya que el número de capas verticales puede cambiar a lo largo del dominio computacional, sin una pérdida de precisión relevante. Estas técnicas se aplican a problemas de flujos oceánicos y de transporte de sedimento.
Inmersiones de grafos en superficies tubulares de género finito
(1999-02-12) Revuelta Marchena, María Pastora; Boza Prieto, Luis; Márquez Pérez, Alberto; Matemática Aplicada I
El matemático alemán Euler (1707-1782) resolvió en 1736 el famoso problema de los puentes de Königsberg. Dicha ciudad estaba divida en cuatro partes, conectadas por siete puentes, al pasar por ella un río (ver Figura 1.1). El problema planteado era el siguiente: empezando a andar en un punto cualquiera de la ciudad ¿es posible volver al punto de partida habiendo cruzado los siente puentes tan solo una vez? La respuesta de Euler fue NO y basó su negativa en el siguiente razonamiento: prescindiendo de la geografía peculiar de la ciudad y su entorno, puede trazarse un esquema de la misma mediante cuatro puntos A, B, C, D (que se correspondan con cada una de las partes de la ciudad) y unir con curvas arbitrarias aquellos puntos conectados en la realidad por los puentes (ver Figura 1.2). El problema inicial es, de hecho, equivalente al problema (basado en la figura adjunta) de si partiendo de uno de los cuatro puntos puede trazarse un itinerario que englobe a todas las curvas una sola vez. Si ello fuese posible el número de líneas por cada punto debería ser par y en cambio todos los puntos tienen un número impar de líneas. Por tanto el problema no tiene solución. Los puentes de Königsberg fueron destruidos durante la segunda guerra mundial, pero la resolución del problema por parte de Euler, fue el principio de una teoría matemática de gran utilidad y brillantes: La Teoría de Grafos. Antes de llegar a la formulación precisa de dicha teoría fueron muchos los científicos que de forma totalmente independiente utilizaron conceptos que a posteriori se han visto unificados con la Teoría de Grafos. Kirchhoff en 1847, manejó esquemas sobre circuitos electrónico; Cayley en 1869 estudió la enumeración de los isómeros del compuesto orgánico CnH2n+2 usando esquemas donde cada punto estaba unido con una o cuatro líneas correspondientes a las valencias de enlace; Jordan, en 1869, estudió estructuras arborescentes de forma abstracta. En 1859, Hamilton ideó el siguiente juego: dado un dodecaedro, si en cada uno de sus 20 vértices se pone el nombre de una ciudad, ¿es posible encontrar un circuito cerrado a través de las aristas del dodecaedro que pase por cada ciudad una sola vez? Dicho juego dio lugar a la teoría de grafos hamiltonianos, de múltiples aplicaciones como para resolver problemas de circulación. En tiempo más recientes surgió el problema de colorear mapas de forma que países con frontera común tuviesen coloración diferente. Lewin introdujo en Psicología esquemas como los anteriores al representar personar por puntos y unir aquellos puntos si las personas representadas tenían relaciones personales. Whlenbeck, Lee y Young. En Física usaron esquemas con puntos y líneas al simbolizar estructuras moleculares y sus interacciones… etc. Lo común en todos los casos es el llegar a simbolizar un problema concreto mediante un esquema gráfico o grafo, formado por puntos y líneas que los unen, y estudiar entonces soluciones al problema inicial planteado mediante reflexiones sobre el esquema gráfico asociado. Como situaciones totalmente dispares pueden dar lugar a los mismos esquemas gráficos, estudiando éstos en general se obtienen soluciones a problemas múltiples. Por supuesto la elaboración de un grafo representa siempre una renuncia a muchas condiciones y características, pues el grafo como tal debe ser un esquema simple. Nótese también que el trazado de un grafo no es un problema de geometría métrica, es decir, la forma de las líneas que unen puntos es cualquiera: interesa visualizar las relaciones, las conexiones, las interacciones,… no hacer una fotografía del trazado. El estudio de este tipo de representaciones, de su existencia y de su clasificación, es lo que se conoce como Teoría de Grafos Topológicos. Este tipo de cuestiones tiene una gran aplicabilidad en campos como la Arquitectura, el diseño de redes de comunicación o el diseño de circuitos integrados, por citar algunos (ver [22] para más detalles). Voy a permitirme hacer un pequeño inciso en su aplicación a la Arquitectura, ya que una convicción personal casi me lo exige que es la siguiente: mi labor en la Universidad es Docente e Investigadora y no me gustan que vayan por separado, sobre todo en un caso como éste que tan claramente pueden ir unidos. En las diferentes etapas de concreción de un proyecto arquitectónico la Teoría de Grafos Topológicos aporta un eslabón clave. Una vez perfiladas las partes o elementos que formarán el proyecto, y antes de proceder al trazado de los primeros croquis predimensionales, es sumamente clarificador trazar el grafo de relaciones entre los elementos prefijados. Por supuesto, diferentes tipos de relaciones: acceso físico (puertas), acceso visual (ventanas, cristal,…), pared común,… etc., llevan a realizar diversos grafos sobre un mismo conjunto de elementos: tantos grafos como tipos de relaciones. Si simbolizamos por puntos los elementos y trazamos como aristas entre estos puntos segmentos que simbolicen la relación acceso a obtenemos un grafo. Si éste pone de manifiesto la existencia de un ciclo eso nos viene a decir que es posible establecer un circuito entre dos elementos cualesquiera (ver Figura 1.3). A un grafo plano de adyacencia pueden corresponder diversos croquis. A cada croquis le corresponde (salvo isomorfismo) un grafo de adyacencia. Un grafo de adyacencias no plano no puede corresponder a una distribución real en planta. Una vez realizado un grafo de adyacencias y un croquis dimensionado, a dicho croquis puede asociarse un grafo evaluado de dimensiones con el siguiente criterio. Se marcan tantos vértices como trozos de paredes horizontales haya, más dos vértices especiales (al principio y al final), escalando todos los vértices de arriba abajo: de cada vértice salen aristas (dirigidas hacia abajo) donde se coloca el dimensionado de las paredes horizontales en cada vértice se sitúa en un círculo el dimensionado vertical que queda entre la pared asociada al vértice y la siguiente por debajo. En el vértice final la dimensión vertical debe ser cero y la arista saliente debe tener la dimensión horizontal total. Nótese que el grafo no es correcto si la suma de valores salientes en cada vértice no es igual a la suma de los valores entrantes. El interés de estos grafos dimensionales es verificar si la repartición de dimensiones interiores es correcta. Otro problema abierto de Teoría de Grafos, cuya motivación ha sido arquitectónica, es el de la disección exacta de un cuadrado en subrectángulos trazando solo líneas horizontales y verticales determinando en cada caso todas las subdivisiones posibles y no isomorfas. Nótese que es problema no es el de encontrar todos los grafos finitos posibles sino aquellos que correspondan a una disección plana pausible. Por ejemplo los grafos K5 y K3,3 no se corresponden con ninguna disección de este tipo. Si n indica el número de rectángulos en que se quiere dividir el cuadrado, para n = 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se ha calculado que existen, respectivamente, 1, 1, 2, 7, 22 y 117 formas diferentes de subdivisiones no equivalentes topológicamente. Para n ≥ 7 el problema de la descripción exhaustiva de tales subdivisiones está aún abierto. Este tipo de problemas se relaciona hoy con la creación de algoritmos capaces de resolver la cuenta de todas las posibles soluciones mediante el uso de ordenadores y plotters acoplados. A lo largo de la memoria hablaremos de Superficies Tubulares de Género Finito, con respecto a éstas me gustaría mencionar la aplicación práctica que en las nuevas tendencias en la Arquitectura tienen estas superficies utilizadas como soporte en la construcción de diferentes tipos de cúpulas. Y principalmente hablaremos de inmersiones de grafos infinitos en estas superficies. Cabe preguntarse en este punto, ¿por qué grafos infinitos? Primero porque los grafos infinitos son estructuras matemáticas y por tanto merece la pena su estudio, además existen muchas relaciones entre otras ramas de las matemáticas como Álgebra, Teoría de Grupos, Geometría, Lógica, etc. y la Teoría de Grafos y en estos campos las estructuras infinitas son muy comunes. Segundo, porque un grafo infinito puede ser considerado como un grado finito del cual no se sabe exactamente su tamaño. Por último, pero no por ello menos importante, los grafos infinitos son una sucesión creciente de grafos finitos (lo que en la literatura se conoce como Grafos Universales). Esta memoria está estructurada de la siguiente forma: Comenzamos con una breve introducción sobre la Teoría de Grafos, para seguir con un capítulo dedicado a las nociones y conceptos básicos que necesitaremos para el desarrollo y una mejor comprensión de los contenidos que a lo largo de las dos partes que forman este trabajo vamos a presentar. La primera parte estudia inmersiones de grafos infinitos, numerables y localmente finitos en superficies abiertas de género finito y está compuesta por dos capítulos (3 y 4). En el Capítulo 3 hablaremos y, desde un punto de vista teórico, caracterizaremos los grafos sin un punto de acumulación de vértices en tales superficies, encontrando una lista de subgrafos prohibidos para esta propiedad en el cilindro (problema éste propuesto por Thomassen en su visita a nuestro Departamento en 1994). En el Capítulo 4 centraremos nuestra atención en el caso de superficies abiertas planas sobre las cuales generalizaremos los resultados obtenidos por Ayala, Domínguez, Márquez y Quintero para grafos mosaicos planos, así como otros obtenidos por Thomassen en [58] sobre representaciones planas por segmentos rectilíneos a dichas superficies. En la segunda parte de la memoria, hablaremos de inmersiones de grafos infinitos, numerables, localmente finitos y dinámicos; lo que nos va a permitir no solo encontrar resultados teóricos sino también algorítmicos, debido a la estructura repetitiva que tienen estos grafos. En el Capítulo 5 estudiaremos cuando las inmersiones de estos grafos en el cilindro presentan algún tipo de acumulación de puntos, siguiendo la línea de trabajo abierta por Dana en su Tesis Doctoral. Y por último, concluimos esta parte planteándonos el estudio de ciertas propiedades métricas estrechamente relacionadas con las inmersiones de grafos por segmentos rectilíneos que presentan puntos de acumulación, abriendo una nueva línea de investigación, también propuesta por Thomassen en su visita y donde proponemos interesantes problemas abiertos. Para finalizar este trabajo de investigación, presentamos un Apéndice donde damos un procedimiento para obtener los subgrafos prohibidos que verifican cierta propiedad a partir de los menores prohibidos que verifican la misma y las referencias bibliográficas más significativas consultadas para elaborar esta memoria.
Geometría computacional en superficies no planas
(1998-09-28) Grima Ruiz, Clara Isabel; Márquez Pérez, Alberto; Matemática Aplicada I
De forma general, la Geometría Computaciones trata del estudio de algoritmos que resuelven problemas geométricos con el ordenador. Esta joven disciplina, que nació de una colección de resultados diversos, constituye, debido al auge que hoy en día ha tenido el ordenador, una de las áreas temáticas que más interés ha suscitado. Dicho interés radica, naturalmente, en las importantes e inmediatas aplicaciones de la Geometría Computacional en los distintos campos de las Matemáticas y de gran utilidad como el diseño asistido por ordenador, tratamiento de imágenes, localización, etc. aunque, históricamente, el estudio de la Geometría y los algoritmos puede remontarse hasta hace más de 2000 años, realmente, el estudio sistemático de la Geometría Computaciones comenzó con la prestigiosa Tesis de Shamos en 1978. Antes de dicho trabajo pocos problemas geométricos habían sido estudiados desde el punto de vista algorítmico. Sin embargo, dada la multitud de conexiones entre la Geometría Computaciones y las áreas de aplicación en Informática, es difícil describir la línea que separa los algoritmos geométricos de los demás. Los surveys de Lee y Preparata, (1984), y Yao, (1990), resumen las distintas interrelaciones de la Geometría Computacional. El primer texto que se centró en un análisis multidimensional fue el tercer volumen de la trilogía de Mehlhorn, (1984). Esta parte de la Geometría Computaciones está particularmente vinculada con el estudio de algoritmos de análisis, como asegura Knuth, (1973). El libro de Preparata y Shamos, (1985), se ha convertido con el paso del tiempo en un clásico de referencia obligada, fijando la terminología, enfocando, principalmente, problemas bidimensionales y, ocasionalmente, tridimensionales. En 1987, O’Rourke publicó un libro enfocado en problemas algorítmicos y combinatorios para polígonos. Por último mencionar que la relación entre la Geometría Discreta y la Geometría Computacional es el tema central del texto de Edelsbrunner, publicado en 1987. Desde entonces otros textos se han publicado, incluso considerando la geometría Computacional desde su aspecto pedagógico. A pesar de todo lo dicho hasta el momento, son pocos y dispersos los trabajos, que se le han dedico, dentro de la disciplina, al estudio de problemas en superficies. Y consideramos que dichos problemas son suficientemente interesante como para que se le dedique un amplio estudio. La razón es bien obvia, como hemos dicho anteriormente, la Geometría Computacional trata de resolver algorítmicamente problemas de naturaleza geométrica y se ha centrado en problemas dentro del plano u otros espacios euclídeos, pero muchas veces la modelización más adecuada no se puede realizar en espacio euclídeos; el mismo ejemplo, tantas veces citado, del movimiento de robots y con el cual está relacionados muchos problemas de la Geometría Computacional, si tratamos de resolverlo en la práctica, en la mayoría de los casos el robot es un brazo articulado que describe en su trayectoria una superficie algebraica. También podríamos modelizar ciertos fenómenos periódicos en el tiempo a través del cilindro y, por último por no hacer demasiado extensa esta relación que no pretende ser exhaustiva, podrían ocurrir que la entrada (y la salida) de nuestro problema sea un conjunto de puntos en cierta superficie. Por tanto, es el objetivo de esta memoria, iniciar desde un punto de vista más sistemático, el estudio de la Geometría Computaciones en superficies no planas. Más concretamente, consideramos las superficies del cilindro, el toro, la esfera y ocasionalmente, cuando la situación lo haga especialmente destacable, el cono. La elección de estas superficies, en primer lugar se realizó, por ser las más simples al margen de los espacios euclídeos; después se ha comprobado, que presentaban suficiente peculiaridades y diferencias entre sí y con el caso euclídeo como para que puedan considerarse un buen ejemplo motivador para la continuación del estudio aquí realizado. Evidentemente, ya se habían considerados algunos problemas en estas superficies anteriormente por otros autores, cuando así ha sido, nos hemos limitado a intentar situar al lector en la senda bibliográfica adecuada, aportando algunos comentarios sobre las soluciones aportadas. Los problemas de Geometría Computacional que hemos considerado también merecen algún tipo de comentario. Evidentemente, hay dos estructuras que no podían ser excluidas de un trabajo con el título como el que aquí presentamos: la envolvente convexa y los diagramas de Voronoi, su importancia en Geometría Computacional es clarísima y no es este el sitio, creemos para justificar su inclusión. Como tampoco creemos que merezca muchos más comentarios el caso de las triangulaciones: numerosos problemas, entre los que destacamos los de interpolación, han movido al estudio de las triangulaciones de nubes de puntos y por lo dicho en el párrafo anterior, es muy factible que la función a interpolar tome sus valores en puntos de un cilindro, una esfera, un toro, etc. El resto de los problemas considerados (diámetro, anchura y transversales) puede que dependan más de los intereses personales de quien los ha trabajado, aunque estemos convencidos de que todos son de indudable interés y quisiéramos destacar que cada uno presenta características especiales por lo cual su estudio es interesante: así en la anchura de un conjunto, la principal dificultad encontrada ha sido dar una definición apropiada y demostrar la equivalencia entre todas las posibles generalizaciones del mismo concepto en el plano lo cual ha permitido su resolución desde el punto de vista computacional. En el diámetro, los problemas han sido de índole algorítmica y en el caso de las transversales nos hemos encontrado resultados totalmente distintos a los que se dan en el plano y con estudio de complejidades sorprendentes. Estas características nos hacen pensar que la elección efectuada no es tan arbitraria como podría parecer a primera vista. Sin embargo, el estudio realizado para la resolución de todos los problemas prueba dos hechos que pudieran parecer sorprendentes y hasta contradictorios: en casi todos los casos considerados la solución algorítmica conocida en el plano no es válida, sin embargo, se puede encontrar algún otro procedimiento que lleva a la solución del problema con complejidades óptimas. Por último quisiera mencionar que todos los temas que aquí se tratan han sido ya anteriormente presentados en foros especializados en los cuales, queremos pensar que han tenido una buena acogida. Así el estudio de la envolvente convexa ha motivado las publicaciones 25 y 26 de la bibliografía, los temas tratados en el capítulo de diagramas de Voronoi aparecen en los trabajos 44, 45, 21 y 20, el diámetro y la anchura fueron estudiados en los trabajos 21, 20, 19 y 22, las transversales son recogidas en el trabajo 24 y en el mismo trabajo se contempla el problema de las triangulaciones.

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