Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)

URI permanente para esta colecciónhttps://hdl.handle.net/11441/11501

Examinar

Mostrando 1 - 20 de 23

Reduced Basis Method applied to the Smagorinsky Turbulence Model
(2022-06-03) Caravaca García, Cristina; Chacón Rebollo, Tomás; Gómez Mármol, María Macarena; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
This PhD dissertation addresses the numerical simulation of models that simulate the behavior of turbulent flows through reduced-order techniques. The numerical simulation of this kind of flows is complex and pricey, as well as necessary to the Eco-efficient building optimized design, among many others applications in engineering and architecture. The integration of reduced-order techniques is the key to reducing by orders of magnitude the time and computational cost in the numerical simulation of these problems. In this dissertation, we use the Smagorinsky model, a Large Eddy Simulation (LES) model based upon the Navier-Stokes equations that allows for the resolution of turbulent flows with coarser meshes. Even then, the computational cost is high, especially in 3D cases. With respect to the Reduced Order Model (ROM), there exist some techniques to obtain the ROM. In this dissertation, we focus on the development of Reduced Basis (RB) method. Upon an ancillary basis, we shall use Proper Orthogonal Decomposition (POD). For ROM obtainment, it is necessary to compute the error between the approximated model and the reduced model through the RB method, which could become very expensive and complex. This is the reason to study a posteriori estimates to estimate the error and which computation is faster. The Smagorinsky model is non-linear since it is derived by the Navier-Stokes equations and the estimator development for non-linear problems requires the use of adapted mathematical techniques. For steady non-linear models, we find estimates based on the Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) theory of non-singular branches approximation of parametric non-linear problems. It is a theory essentially based upon the Implicit function theorem. This estimator has already been developed for steady flows, although it has only be applied to 2D flows. Therefore, we shall start applying this estimator to the 3D case, obtaining large reductions in time and computational cost. We also apply this estimator to a realistic design problem for a cloister focused on the thermal comfort optimization of the ground floor. The parameters to consider for the problem are the height and width of the corridors around the cloister. We obtain an optimal answer by analyzing 625 possibilities in 16 minutes. One of the main challenges addressed in this dissertation is to extend the a posteriori estimator to unsteady problems. To start, it is necessary to analyze previous studies on a priori estimations that involve velocity and pressure. Thus, we are able to develop an a posteriori estimator under some hypothesis. Furthermore, we develop an alternative based Kolmogórov’s theory of statistical equilibrium, based on the existence of an energy cascade that spreads the energy from large eddies to the smallest ones, dissipating the energy thanks to viscosity. This cascade generates an inertial energy spectrum with a determined shape that we use as the estimator. We have validated this estimator with an academic test, using a POD+Greedy strategy. We obtain similar results using the estimator and the committed real error.
Finite-dimensionality of attractors for dynamicl systems wigh applications: deterministic and random settings
(2021-01-27) Cunha, Arthur Cavalcante; Langa Rosado, José Antonio; Carvalho, Alexandre Nolasco; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
In this work we obtain estimates on the fractal dimension of attractors in three different settings: global attractors associated to autonomous dynamical systems, uniform attractors associated to non-autonomous dynamical systems and random uniform attractors associated to non-autonomous random dynamical systems. Firstly we give a simple proof of a result due to Mañé (Springer LNM 898, 230242, 1981) that the global attractor A (as a subset of a Banach space) for a map S is finite-dimensional if DS(x) =C(x)+L(x), where C is compact and L is a contraction (and both are linear). In particular, we show that if S is compact and differentiable then A is finite-dimensional. Using a smoothing property for the differential DS we also prove that A has finite fractal dimension and we make a comparison of this method with Mañés approach. We give applications to an abstract semilinear parabolic equation and to 2D Navier-Stokes equations. Secondly we prove using a smoothing method that uniform attractors have finite fractal dimension on Banach spaces, with bounds in terms of the dimension of the symbol space and a Kolmogorov entropy number. We also show that the smoothing property is useful to prove the finite-dimensionality of uniform attractors in more regular Banach spaces. In addition, we prove that the finite-dimensionality of the hull of a time-dependent function is fully determined by the tails of the function. We give applications to non-autonomous 2D Navier- Stokes and reaction-diffusion equations. Thirdly we prove using a smoothing and a squeezing method that random uniform attractors have finite fractal dimension. Neither of the two methods implies the other. Estimates on the dimension are given in terms of the dimension of the symbol space plus a term arising from the smoothing/squeezing property; the smoothing is applied also to more regular spaces. In this setting we give applications to a stochastic reaction-diffusion equation with scalar additive noise. In addition, a random absorbing set which absorbs itself after a deterministic period of time is constructed.
Irrationality and transcendence in the 18th and 19th centuries. A contextualized study of J. H. Lambert's Mémoire (1761/1768)
(2021-05-13) Dorrego López, Eduardo; Ferreirós Domínguez, José Manuel; Universidad de Sevilla. Departamento de Filosofía y Lógica y Filosofía de la Ciencia
The object of this dissertation is to carry out a historical study on the development of irrational numbers and the concept of transcendence in mathematics during the 18th and 19th centuries. Although many authors are analyzed, the central character of the study is Johann Heinrich Lambert (1728--1777) and his Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques (1761/1768). The main contributing portion --Part II of the dissertation consists of the rst annotated translation of this work, which is particularly known for including the rst demonstration of the irrationality of π, an analysis that is accompanied with a biography of its author. The research of this work and its author is not done separately. Rather, it is contextualized by analyzing the development of the so-called <> in two markedly di erent centuries, the 18th and 19th, culminating in the complete theories of real numbers and the new conception of <> numbers. In Part I of the thesis, the situation prior to Lambert and mainly in the 18th century is analyzed an analysis in which Euler has a relevant role , but we also take a brief look at the last decades of the 16th and the 17th centuries, the time frame of the origin and development of analytical methods, key to progress towards a deeper understanding of irrational numbers. Lastly, Part III sheds light on the influence that Lambert's work had on later generations, and more generally, on the way in which irrational numbers went from being a mere quantities (classical image) to abstract objects de ned through in nite processes (modern image). This deeper knowledge of irrational numbers is particularly re ected in the rst demonstrations of transcendence, and in this sense, a key character is Joseph Liouville (1809-1882). This is not only because of his own contributions, but also because of his enormous influence through his Journal, his lectures, and the international network of contacts at his disposal, Dirichlet being a particularly distinguished case. To a large extent, the in uence of Liouville, which directly or indirectly was swayed by Lambert, is responsible for the famous results of Hermite and Lindemann on the transcendence of e and π --a concept (that of transcendence) which will not begin to be used in its modern meaning in a systematic way until the last decades of the 19th century, starting with the work of Dedekind.
Dynamics and bifurcations in nonlinear systems with hysteresis.
(2019-03-04) Esteban Pérez, Marina; Ponce Núñez, Enrique; Torres Peral, Francisco; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
The main objective of this thesis is to determine periodic solutions and possible bifurcations in a family of dynamical systems with hysteresis. In par- ticular, we analyze a concrete family of slow-fast piecewise linear systems in three dimensions, which after introducing a hysteretic function, is embedded in two dimensions. In Chapter 1, we introduce the tridimensional piecewise linear systems to be studied. Then, we reduce their dimension thanks to a relaxation hy- pothesis. Moreover, we show a normalized canonical form which allows us to decrease the number of parameters. In Chapter 2, we analyze the case where the hysteretic system has no isolated equilibria, that is, when one of the eigenvalues of the planar system is zero. We detect some relevant bifurcations as a saddle-node bifurcation of periodic orbits and a bifurcation from in nity. In Chapters 3 and 4, we study the non-zero real eigenvalues cases, giving rise to equilibria of node, saddle or improper node type. Bifurcations as saddle-node of periodic orbits, homoclinic and heteroclinic bifurcations are analytically described. We detect also, some regions on the parameter plane where the existence of four periodic orbits is possible. In Chapter 5 we focus on the complex eigenvalues case, that is, when the equilibria are centre or focus type. For the centre case, the dynamics is completely determined and we can detect similar bifurcations as the obtained in previous chapters. The focus case is tackled in a diferent way. In this last case, our aim will be to obtain conditions for which the parameters lead to an instantaneous transition to chaotic behaviour. Finally, after a conclusions chapter, we include some non-generic cases in appendices A and B.
Classification and regression with functional data: a mathematical optimization approach.
(2019-02-15) Jiménez Cordero, María Asunción; Blanquero Bravo, Rafael; Carrizosa Priego, Emilio José; Universidad de Sevilla. Departamento de Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
El objetivo de esta tesis doctoral es desarrollar nuevos métodos para la clasificación y regresión supervisada en el Análisis de Datos Funcionales. En particular, las herramientas de Optimización Matemática analizadas en esta tesis explotan la naturaleza funcional de los datos, dando lugar a nuevas técnicas que pueden mejorar los métodos clásicos y que conectan las matemáticas con las aplicaciones. El Capítulo 1 presenta las ideas generales, los retos y la notación usada a lo largo de la tesis. El Capítulo 2 trata el problema de seleccionar el conjunto finito de instantes de tiempo que mejor clasifica datos funcionales multivariados en dos clases predefinidas. El uso, no sólo de la información proporcionada por la propia función, sino también por sus derivadas será decisivo para mejorar la predicción, como se pondrá de manifiesto posteriormente. Para ello se formula un problema de optimización binivel continuo. Dicho problema combina la aplicación de la conocida técnica SVM (Support Vector Machine) con la maximización de la correlación entre la etiqueta de la clase y la denominada función score, vinculada a dicha técnica. El Capítulo 3 también se centra en la clasificación binaria de datos funcionales usando SVM. Sin embargo, en lugar de buscar los instantes de tiempo más relevantes, aquí se define un ancho de banda funcional para la denominada función kernel. De esta forma, se puede mejorar el rendimiento del clasificador, a la vez que se identifican los diferentes intervalos del dominio de la función, de acuerdo a su capacidad predictiva, mejorando además la interpretabilidad del modelo resultante. La obtención de tales intervalos se lleva a cabo mediante la resolución de un problema de optimización binivel por medio de un algoritmo alternante. El Capítulo 4 se centra en la clasificación de los llamados datos funcionales híbridos, es decir, datos que están formados por variables funcionales y estáticas (constantes a lo largo del tiempo). El objetivo es seleccionar las variables, funcionales o estáticas, que mejor clasifiquen. Para ello, se define un kernel no isotrópico que asocia un parámetro ancho de banda escalar a cada una de las variables. De forma análoga a como se ha hecho en los capítulos anteriores, se propone un algoritmo alternante para resolver el problema de optimización binivel, que permite resolver los parámetros del kernel. El problema de selección de variables presentado en el Capítulo 2 se generaliza al campo de la regresión en el Capítulo 5. El método de resolución combina la técnica denominada SVR (Support Vector Regression) con la minimización de la suma de los cuadrados de los residuos entre la verdadera variable respuesta y la prevista. Todos los algoritmos propuestos a lo largo de esta tesis han sido aplicados a bases de datos sintéticas y reales, quedando probada su efectividad.
Development of reduced numeric models to aero-thermal flows in buildings
(2018-06-18) Delgado Ávila, Enrique; Chacón Rebollo, Tomás; Gómez Mármol, María Macarena; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
Esta tesis se enmarca dentro de la resoluci_on num_erica de modelos que simulan el comportamiento de ujos turbulentos mediante t_ecnicas de orden reducido y bajo coste computacional. En particular, desarrollamos t_ecnicas de bases reducidas que permiten reducir dr_asticamente el c_alculo de una soluci_on a estos modelos. El objetivo es desarrollar modelos matem_aticos orientados al dise~no de edi_cios eco-e_cientes, lo que conlleva a la resoluci_on de modelos complejos donde las inc_ognitas del problema aparecen acopladas. La modelizaci_on de orden reducido proporciona reducciones de varios _ordenes de magnitud en el coste computacional de la simulaci_on num_erica de estos procesos y problemas de dise~no, haciendo cada vez m_as abordable su resoluci_on efectiva en tiempo real. Normalmente los modelos de orden reducido requieren de cientos de grados de libertad en lugar de millones como frecuentemente necesita el modelo de orden completo. En este trabajo consideramos diferentes modelos de complejidad creciente, desarrollando las t_ecnicas de orden reducido aplicadas a dichos modelos. Realizamos un estudio de estabilidad para dichos m_etodos num_ericos y se completa con simulaciones num_ericas que permiten validar los resultados te_oricos obtenidos. En primer lugar consideramos el modelo de turbulencia para ujos de aire conocido como modelo de Smagorinsky. Se trata de un modelo b_asico de turbulencia, que corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes donde la viscosidad es una viscosidad turbulenta, que matem_atica es una funci_on no lineal de la inc_ognita. Para la aproximaci_on de este t_ermino utilizamos t_ecnicas de Interpolaci_on Emp__rica, desarrollando un estimador de error a posteriori de acuerdo con la Teor__a de Brezzi-Rappaz-Raviart. Para este modelo en su versi_on bidimensional, realizamos distintos test num_ericos obteniendo que el tiempo de c_alculo para la velocidad del ujo se divide por mil cuando utilizamos t_ecnicas de orden reducido. A continuacion nos ocupamos de una modi_caci_on del modelo de Smagorinsky donde consideramos que la viscosidad turbulenta act_ua s_olo sobre las peque~nas escalas resueltas, y adem_as consideramos una estabilizaci_on local de proyecci_on para el c_alculo de la presi_on. El considerar esta estabilizaci_on de la presion nos permite evitar el enriquecimiento del espacio de velocidades para obtener un m_etodo estable. Para este modelo hemos comprobado num_ericamente que el tiempo de c_alculo se reduce m_as que en el modelo original de Smagorinsky. Por _ultimo consideramos un modelo acoplado de tipo Boussinesq obtenido mediante t_ecnicas de multiescala variacional. El modelo est_a formado por las ecuaciones del modelo de Smagorinsky junto a la ecuaci_on de la temperatura. Estas ecuaciones est_an acopladas mediante los t_erminos de otabilidad. El estudio realizado para este modelo se centra en aplicar t_ecnicas de orden reducido para dos tipos de par_ametros: f__sico y geom_etrico. El tratamiento para cada uno de estos par_ametros es distinto desde el punto de vista matem_atico. Para este problema desarrollamos de nuevo un estimador de error a posteriori y lo validamos mediante simulaciones num_ericas sencillas que representan el estudio del ujo de aire y la temperatura en habitaciones de geometr__a sencilla.
Métodos algebraicos basados en test-sets para optimización lineal entera multiobjetivo
(2017-09-14) Jiménez Tafur, Haydee; Ucha Enríquez, José María; Hartillo Hermoso, Isabel; Universidad de Sevilla. Departamento de Instituto de Mátemáticas Universidad de Sevilla
En esta memoria se presenta un nuevo método algebraico para resolver de forma exacta problemas de programación multiobjetivo lineal entera para cualquier número de objetivos. Dicho método está basado en el uso de los test-sets asociados a los problemas lineales enteros que surgen con el método tradicional de las restricciones. En el capítulo 1 mostramos una breve introducción a los problemas multiobjetivo y a los conceptos principales que aparecen en su estudio, así como algunos métodos clásicos para resolverlos. En el capítulo 2 recordamos los resultados algebraicos que fundamentan el ingrediente algebraico básico en el que se basa nuestro método, los test-sets asociados a un problema lineal entero m__nfcx; s:a:Ax = b; x 2 Nng, que son validos para todo b. Esta característica hace natural el uso de los test-sets para aplicar el método clásico de las restricciones. Los test-sets serán calculados con bases de Grobner respecto de órdenes que, elegidos convenientemente, producen ventajas añadidas. En el capitulo 3 presentamos los resultados teóricos que sustentan el algoritmo para el caso biobjetivo lineal entero, que calcula todos los puntos no dominados sin resolver ningún problema de un sólo objetivo innecesario y sin producir soluciones debilmente recientes. Además, mostramos una ventaja adicional del uso de los test-sets: en algunas familias de problemas pueden ser calculados teóricamente a priori. Hacemos precisamente esto con un problema de la literatura, el problema BBV. Terminamos con tablas de resultados computacionales con especial interés en el problema de la mochila no acotada. En el capítulo 4 tratamos el caso de cualquier número de objetivos. Conseguimos un algoritmo que produce todos los puntos no dominados y sólo puntos no dominados, pero sin poder asegurar que no se resolver algún problema de un sólo objetivo innecesario al aplicar el método de las restricciones. Resolvemos un problema de la literatura de tres objetivos en sistemas serie-paralelo y al final de este capítulo mostramos resultados computacionales al tratar el problema de la mochila no acotada para 3, 4 y 5 objetivos.
Mathematical optimization for the visualization of complex datasets
(2017-06-26) Guerrero Lozano, Vanesa; Carrizosa Priego, Emilio José; Romero Morales, María Dolores; Universidad de Sevilla. Departamento de Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla
This PhD dissertation focuses on developing new Mathematical Optimization models and solution approaches which help to gain insight into complex data structures arising in Information Visualization. The approaches developed in this thesis merge concepts from Multivariate Data Analysis and Mathematical Optimization, bridging theoretical mathematics with real life problems. The usefulness of Information Visualization lies with its power to improve interpretability and decision making from the unknown phenomena described by raw data, as fully discussed in Chapter 1. In particular, datasets involving frequency distributions and proximity relations, which even might vary over the time, are the ones studied in this thesis. Frameworks to visualize such enclosed information, which make use of Mixed Integer (Non)linear Programming and Difference of Convex tools, are formally proposed. Algorithmic approaches such as Large Neighborhood Search or Difference of Convex Algorithm enable us to develop matheuristics to handle such models. More specifically, Chapter 2 addresses the problem of visualizing a frequency distribution and an adjacency relation attached to a set of individuals. This information is represented using a rectangular map, i.e., a subdivision of a rectangle into rectangular portions so that their areas reflect the frequencies, and the adjacencies between portions represent the adjacencies between the individuals. The visualization problem is formulated as a Mixed Integer Linear Programming model, and a matheuristic that has this model at its heart is proposed. Chapter 3 generalizes the model presented in the previous chapter by developing a visualization framework which handles simultaneously the representation of a frequency distribution and a dissimilarity relation. This framework consists of a partition of a given rectangle into piecewise rectangular portions so that the areas of the regions represent the frequencies and the distances between them represent the dissimilarities. This visualization problem is formally stated as a Mixed Integer Nonlinear Programming model, which is solved by means of a matheuristic based on Large Neighborhood Search. Contrary to previous chapters in which a partition of the visualization region is sought, Chapter 4 addresses the problem of visualizing a set of individuals, which has attached a dissimilarity measure and a frequency distribution, without necessarily cov-ering the visualization region. In this visualization problem individuals are depicted as convex bodies whose areas are proportional to the given frequencies. The aim is to determine the location of the convex bodies in the visualization region. In order to solve this problem, which generalizes the standard Multidimensional Scaling, Difference of Convex tools are used. In Chapter 5, the model stated in the previous chapter is extended to the dynamic case, namely considering that frequencies and dissimilarities are observed along a set of time periods. The solution approach combines Difference of Convex techniques with Nonconvex Quadratic Binary Optimization. All the approaches presented are tested in real datasets. Finally, Chapter 6 closes this thesis with general conclusions and future lines of research.
Dinámica de redes mutualistas en ecosistemas complejos
(2017-07-14) Guerrero Suárez, Giovanny Fabián; Suárez Fernández, Antonio; Langa Rosado, José Antonio; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
El objetivo principal de este trabajo es el análisis matemático de sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan redes complejas resultantes de ecosistemas reales de tipo mutualista. Investigamos el rango de condiciones necesarias para la coexistencia de todas las especies en un sistema mutualista. Mostraremos cómo la arquitectura de redes observadas en la naturaleza maximiza, en cierto sentido, el rango de las condiciones para la coexistencia de las especies. Dicho objetivo se logra gracias a un enfoque interdisciplinar en el que, sin duda, las matemáticas desempeñan una función clave. Se demuestra que el anidamiento de redes es una forma de organización que hace más persistentes a las comunidades. Las redes mutualistas constituyen la arquitectura de la biodiversidad. Este enfoque, basado en la estabilidad estructural, es nuevo en ecología. La matemática aplicada a las redes complejas nos permite abordar el cambio global desde el punto de vista sistémico. Estudiamos el conjunto de condiciones que conducen a la coexistencia estable de todas las especies dentro de una comunidad modelada por un sistema N-dimensional de ecuaciones diferenciales. Además, aportamos resultados sobre la existencia del punto de equilibrio factible para cualquier conjunto de valores de los parámetros dados, así como el rango de los mismos en los cuales la coexistencia de todas las especies es estable. Para ello la teoría para problemas de complementariedad lineal (teoría LCP, por su siglas en inglés) es clave en las argumentaciones. Daremos evidencia analítica y numérica de que el punto de equilibrio factible, en el cual todas las especies tienen una abundancia positiva, depende en gran medida y de forma continua de los valores de las tasas de crecimiento consideradas. Realizamos un estudio riguroso, tanto desde el punto de vista analítico como numérico. Para el estudio teórico, la teoría de semigrupos gradientes y sus atractores globales, caracterizados a partir de su estructura de Morse, han sido fundamentales. Para el segundo aspecto, hemos implementado un Laboratorio de Redes Mutualistas, el cual, para redes reales distribuidas en diversos ecosistemas del planeta, nos ha permitido simular una serie de experimentos, entre los que cabe destacar la importancia para la biodiversidad que posee el grado de anidamiento de las redes, así como la dependencia de las mismas de los parámetros del sistema.
Weighted estimates for multilinear maximal functions and singular integral operators
(2014-12-10) Damián González, Wendolín; Pérez Moreno, Carlos; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
El principal objetivo de esta Tesis es el estudio de desigualdades con pesos para diferentes operadores del análisis armónico en dos ambientes diferentes: los espacio de tipo homogéneo y en el contexto euclídeo multilineal. La primera parte del presente trabajo se centra en el estudio de acotaciones fuertes y débiles con pesos de operadores de Calderón-Zygmund que generalizan a espacios de tip o homogéneo la situación del espacio euclídeo Rn. Nuestro objetivo es la obtención de cotas formadas por al menos dos constantes Ap diferentes de manera que estas cotas mixtas sean estrictamente más pequeñas que las clásicas formadas por una constante. Asimismo, se generalizan desigualdades como la de John-Nirenberg y la desigualdas de Hölder al revés, las cuales serán herramientas fundamentales de cara a determinar acotaciones óptimas para los operadores de Calderón-Zygmund y los conmutadores de estos operadores con funciones de BMO. La segunda parte de esta monografía se centra en el estudio de las desigualdades con pesos para la función maximal y multilineal y operadores integrales singulares multilineales así como la determinación de las constantes óptimas para la acotación de dichos operadores. Con respecto al problema de determinación de las constantes óptimas para la función maximal multilineal, se consigue una cota mixta que mezcla la constante múltiple Ap con un producto de constantes A∞. También se extienden total o parcialmente otros resultados en el contexto múltiple de uno y dos pesos como los teoremas de S. Buckley y E. Sawyer, respectivamente. Asimismo, se establece el control en norma de los operadores multilineales de Calderón-Zygmund e integrales singuales multilineales con núcleos no suaves por operadores multilineales de tipo sparse. Como consecuencia de este resultado se deriva un análogo del teorema A2 para ambos tipos de operadores. Finalmente, se estudia la compacidad de los conmutadores de diferentes operadores con símbolos en un subespacio de BMO. Por un lado, el estudio se centra en los conmutadores de una clase de operadores bilineales que extiende el caso de los operadores de Calderón-Zygmund. También se estudia el caso de los conmutadores de una familia de operadores bilineales fraccionarios más singulares que pueden verse como la versión fraccionaria de la transformada de Hilbert bilineal. Por otro lado, se estudian las clases de pesos múltiples para los cuales se tiene que los conmutadores de operadores de Calderón-Zygmund bilineales son compactos en espacios de Lebesgue con pesos.
Orthogonal matrix polynomials and differential, difference and q-difference matrix operators
(2014-09-05) Martínez de los Ríos, Ana; Durán Guardeño, Antonio José; Álvarez Nodarse, Renato; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
In this thesis we present a series of result that are framed in the theory of Matrix Orthogonal Polynomials, a branch of the very celebrated subject of Orthogonal Polynomials. In particular we study families of matrix valued orthogonal polynomials satisfying differential, difference or q-difference equations. The search for examples of matrix polynomials which are also eigenfunctions of certain matrix operators is a rather dificult issue. This dificulty is due to several reasons. The most important of these reasons is the increase of the difficulties in the computations related with the non-commutativity of the matrix product, and the existence of singular matrices. However, having a wide set of examples of matrix orthogonal polynomials has shown to be decisive in the study and discovery of new phenomena happening in the matrix orthogonality. This has been the case with the examples of matrix orthogonal polynomials satisfying differential equations. An example of the increasing knowledge about these families of orthogonal polynomials is shown in the last chapter of this memory. There, lot of tools developed in the last decades are used to build and study in deep an interesting family of matrix orthogonal polynomials satisfying second order differential equations. Moreover, these families are shown to satisfy first order differential equations as well. In the case of matrix orthogonal polynomials satisfying difference equations, very little was known. Apart from some examples in size 2x2 (and some others reducible to the scalar case) there were no examples of such matrix orthogonal polynomials. With this thesis this lack of examples starts to be solved. Moreover, we introduce a method to construct examples of matrix orthogonal polynomials satisfying second order difference equations, and by making use of it we give a variety of examples. Having such a method is of the main importance, because we skip the complexity in the computations that made the search of examples so difficult, and now dealing with matrix orthogonal polynomials and matrix difference equations becomes much easier to handle. The method profits of the factorization of a weight matrix and the symmetry equations for a discrete weight matrix and a difference operator. These symmetry equations are the starting point to develop the method. By making use of the examples obtained by this method, we explore new features and properties satisfied by this objects. For the case of matrix orthogonal polynomials satisfying q-difference equations, even less was known. In this thesis we establish the symmetry equations for the q-difference case, and we adapt the method developed for the difference case to obtain the first non-trivial examples of matrix orthogonal polynomials satisfying second order q-difference operator. That emphasizes the power of the method to build examples for the difference case. With our method we construct an example of matrix orthogonal polynomials satisfying q-difference equations, but this method can easily be used to get a wider class of examples and to explore their properties. With the content of this thesis we get a more complete view of the theory of matrix orthog- onal polynomials, and many questions can now be tackled, such as those concerning limiting relations among matrix orthogonal polynomials satisfying second order difference equations (or q-difference) and matrix orthogonal polynomials satisfying second order differential equa- tions.
Statistical analysis of new multivariate risk measures
(2017-03-20) Palacios Rodríguez, Fátima; Di Bernardino, Elena; Fernández Ponce, José María; Rodríguez Griñolo, María del Rosario; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
Como consecuencia de que los reguladores necesitan gestionar el riesgo en los distintos sectores, se está extendiendo de forma rápida una metodología basada en el riesgo. En las últimas décadas, este problema ha sido tratado en su mayoría en una versión univariante. Sin embargo, los riesgos envuelven normalmente varias variables aleatorias que son a menudo dependientes. Por tanto, es crucial trabajar en un marco multivariante. Por otro lado, los fenómenos están caracterizados frecuentemente por eventos extremos. Esta tesis trata fundamentalmente dos problemas: la definición de medidas de riesgo en un marco multivariante y la estimatión de medidas de riesgo multivariantes teniendo en cuenta eventos extremos. El Capítulo 1 es un capítulo introductorio. Presentamos el estado del arte para la noción de medidas de riesgo multivariantes. También, recordamos los principales resultados en Teoría de Cópulas, Teoría de Valores Extremos y Órdenes Estocásticos que son útiles en este trabajo . Se introducen dos nuevas medidas de riesgo multivariantes en el Capítulo 2. Varias propiedades interesantes y, caracterizaciones bajo condiciones de cópulas Arquimedianas, se estudian para las medidas de riesgo propuestas. Además, se obtienen estimadores semiparamétricos para las nuevas medidas, y son ejempli_cados considerando datos simulados y un conjunto de datos real de seguros. El Capítulo 3 se centra en la estimación extrema no paramétrica de las medidas multivariantes propuestas en el Capítulo 2. Para este propósito, primero analizamos el comportamiento en la cola de las distribuciones condicionadas que de_nen dichas medidas. El principal resultado está constituido por el Teorema Central del Límite de los estimadores extremos. El rendimiento de los estimadores extremos se evalúa en datos simulados y para un conjunto de datos real de precipitaciones. El estudio de la medida de riesgo multivariante asociada con the Component-wise Excess(C.-E.) design realization dada por Salvadori et al. (2011) se enmarca en el Capí- tulo 4. Se obtiene la expresión explícita de la medida para cópulas Arquimedianas. Asimismo, se proporciona un procedimiento de estimación extrema para la C.- E. design realization. Se estudia el comportamiento asintótico de los estimadores propuestos. Finalmente, los estimadores para la C.- E. design realization se aplican en datos simulados y para un conjunto de datos real de una presa.
Problemas de homogeneización con alto contraste
(2016-12-02) Pallares Martín, Antonio Jesús; Casado Díaz, Juan; Luna Laynez, Manuel; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
El objetivo de esta tesis es estudiar la homogeneización de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales elípticas. Principalmente, proporcionamos condiciones de integrabilidad sobre los coeficientes del sistema que nos permitan tener un resultado de homogeneización local. En el caso de ecuaciones, se sabe que es suficiente que los coeficientes estén acotados en L^1 y sean equiintegrables para dimensiones mayores que 2 y solo acotación en L^1 para dimensión 2. Sin embargo, estos resultados se basan en el principio del máximo, resultado que no es cierto para sistemas. Por tanto, para poder abordar este problema necesitamos usar otras técnicas y herramientas. Otro problema interesante en el marco de la homogeneización es la posibilidad de deducir ciertas propiedades de los problemas límite, una cuestión que también tratamos en la última parte de la tesis. Esta tesis está dividida en 4 capítulos: En el Capítulo 1 consideramos un sistema elíptico lineal de M ecuaciones en derivadas parciales en el que los coeficientes no están acotados uniformemente ni son uniformemente coercitivos. Suponemos acotación de los coeficientes en cierto espacio L^p y una condición de coercitividad integral sobre los mismos. Recordamos que la coercitividad integral y la coercitividad puntual no son equivalentes en el caso de sistemas. Nuestras hipótesis nos permiten aplicar los resultados obtenidos al sistema de la elasticidad. Además, aunque no suponemos que los tensores de coeficientes son simétricos, puesto que hacemos usos de algunas herramientas propias de la teoría de la Gamma-convergencia, necesitamos controlar de forma uniforme la parte antisimétrica de los tensores de coeficientes por su parte simétrica. Para probar el resultado usamos una generalización del lema del div-rot de Murat-Tartar. En el Capítulo 2 consideramos el caso de los sistemas elípticos no lineales. Para ello, estudiamos el Gamma-límite de una sucesión de funcionales no lineales definidos sobre funciones vectoriales. Por simplificar, en este caso sí imponemos una condición de elipticidad débil uniforme sobre los coeficientes. En este marco, la no linealidad del problema nos impide usar la extensión del lema del div-rot que empleamos en el Capítulo 1. En cambio, nuestros resultados se apoyan en otra extensión del lema del Div-Rot y, más concretamente, en un lema de compacidad por compensación para sucesiones acotadas en W^{1,q}, mejorando ligeramente el resultado del Capítulo 1. También cabe destacar que las hipótesis de este capítulo no implican la convexidad de las energías con respecto a su segunda variable. En este capítulo también mostramos algunas aplicaciones que incluyen algunos materiales hiperelásticos. En el Capítulo 3 estudiamos el problema de homogeneización para el sistema de elasticidad con coeficientes no acotados cuando el dominio está siendo reducido a una dimensión. En concreto, consideramos el sistema de la elasticidad lineal en una barra cuyo grosor está tendiendo a 0. En este capítulo también consideramos el caso en el que los coeficientes no están uniformemente acotados. Obtenemos un resultado de homogeneización que nos lleva a un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias en el intervalo (0,1), permitiéndonos obtener una aproximación de las soluciones del tipo de Bernouilli-Navier que también contiene un término de torsión. En el capítulo 4, nos centramos en la homogeneización por medio de Gamma-convergencia de energías integrales débilmente coercitivas con densidades cuadráticas con coeficientes dados por una función tensorial simétrica periódica. En primer lugar, generalizamos los resultados existentes que dan condiciones sobre el tensor de coeficientes para que se tenga el resultado de homogeneización de dichas energías. El resultado más clásico afirma que si el tensor de coeficientes es muy fuertemente elíptico, entonces la homogeneización es directa. Nosotros estudiamos este problema solo bajo la hipótesis de elipticidad fuerte. Ya ha sido probado que, en este marco, se tiene el resultado de homogeneización (por medio de Gamma-convergencia) suponiendo que la constante de coercitividad funcional clásica del tensor es no negativa y que la constante de coercitividad funcional periódica es positiva. En este capítulo obtenemos una mejora de este resultado y probamos que, de hecho, es suficiente que la constante de coercitividad funcional clásica del tensor sea no negativa. Además, siguiendo las ideas del resultado existente para dimensión 2, mostramos varios ejemplos en dimensión 3 para los que el anterior resultado se aplica. En segundo lugar, analizamos la pérdida de elipticidad fuerte a través de la homogeneización en el caso de la elasticidad lineal en dimensión 3. Hacemos un estudio exhaustivo del proceso de laminación en dos pasos llevado a cabo por S. Gutiérrez y la damos justificación en términos de Gamma-convergencia, haciendo uso del resultado obtenido en la parte anterior del capítulo.
Derived homotopy algebras
(2016-10-28) Maes, Jeroen; Muro Jiménez, Fernando; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki); Universidad de Sevilla. FQM218: Geometria Algebraica, Sistemas Diferenciales y Singularidades
Derived A-algebras are derived and homotopy invariant versions of differential graded algebras. They were introduced by Steffen Sagave in 20 0 in order to construct minimal models for diferential graded algebras over arbitrary commutative rings. Muriel Livernet, Constanze Roitzheim, and Sarah Whitehouse showed in 2013 how they can be viewed as algebras over the minimal model of the operad encoding bicomplexes with a compatible associative multiplication. We extend their work for the associative operad to a general quadratic Koszul operad O satisfying standard projectivity assumptions. This leads to the new notion of derived homotopy O-algebra, where minimal models for O-algebras are defined. We explicitly compute generating operations and relations when O is the associative operad, the commutative operad, and the operad encoding Lie algebras.
Distribución de álgebras de lie, MALCEV y evolución en clases de isotopismos
(2016-09-27) Falcón Ganfornina, Óscar Jesús; Núñez Valdés, Juan; Falcón Ganfornina, Raúl Manuel; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
El presente manuscrito trata distintos aspectos de la teoría de isotopismos de álgebras, centrándose en particular en los isotopismos de álgebras de Lie, de Malcev y de evolución, los cuáles no han sido suficientemente estudiados en la literatura. La distribución que sigue el manuscrito se detalla a continuación. En el Capítulo 1 se expone un breve estudio acerca del origen y desarrollo de la teoría de isotopismos, constituyendo en este sentido la primera introducción en la literatura existente en introducir la mencionada teoría desde un punto de vista general. El Capítulo 2 trata de aquellos resultados en Geometría Algebraica Computacional y en Teoría de Grafos que usamos a lo largo del manuscrito con vistas a determinar computacionalmente las clases de isotopismos de cada tipo de álgebra bajo consideración en los siguientes capítulos. Se describen en particular un par de grafos que permiten definir funtores inyectivos entre álgebras de dimensión finita sobre cuerpos finitos y los citados grafos. El cálculo computacional de invariantes por isomorfismos de estos grafos juega un papel destacable en la distribución de las distintas familias de álgebras en clases de isotopismos y de isomorfismos. Algunos resultados preliminares son expuestos en este sentido, particularmente acerca de la distribución de anillos de cuasigrupos parciales sobre cuerpos finitos. El Capítulo 3 se centra en la distribución de clases de isomorfismos y de isotopismos de dos familias de álgebras de Lie: el conjunto Pn;q de álgebras de Lie prefiliformes n-dimensionales sobre el cuerpo finito Fq y el conjunto Fn(K) de álgebras de Lie filiformes n-dimensionales sobre un cuerpo K. Se prueba concretamente la existencia de n clases de isotopismos en Pn;q. También se introducen dos nuevas series de invariantes por isotopismos que son usados para determinar las clases de isotopismos del conjunto Fn(K) para n≤7 sobre cuerpos algebraicamente cerrados y sobre cuerpos finitos. El Capítulo 4 trata con distintos ideales radicales cero-dimensionales cuyos conjuntos algebraicos asociados pueden indentificarse de forma única con el conjunto Mn(K) de álgebras de Malcev n-dimensionales sobre un cuerpo finito K. El cálculo computacional de sus bases reducidas de Gröbner, junto a la clasificación de álgebras de Lie sobre cuerpos finitos dada por De Graaf y Strade, permiten determinar la distribución de M3(K) y M4(K) no sólo en clases de isomorfismos, que es el criterio usual, sino también en clases de isotopismos. En concreto, probamos la existencia de cuatro clases de isotopismos en M3(K) y ocho clases de isotopismos en M4(K). Además, se prueba que todo álgebra de Malcev 3-dimensional sobre cualquier cuerpo finito y todo álgebra de Malcev 4-dimensional sobre un cuerpo finito de característica distinta de dos es isotópica a un magma-álgebra de Lie. Finalmente, el Capítulo 5 trata con el conjunto En(K) de álgebras de evolución n-dimensionales sobre un cuerpo K, cuya distribución en clases de isotopismos está relacionada de forma única con mutaciones en Genética no Mendeliana. Se centra en concreto en el caso bi-dimensional, el cuál está relacionado con los procesos de reproducción asexual de organismos diploides. Se prueba en particular que el conjunto E2(K) se distribuye en cuatro clases de isotopismos, independientemente de cuál sea el cuerpo base y se caracteriza sus clases de isomorfismos.
Enhancing robustness and sparsity via mathematical optimization
(2016-09-22) Olivares Nadal, Alba Victoria; Carrizosa Priego, Emilio José; Ramírez Cobo, Josefa; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki); Universidad de Sevilla. FQM329: Optimizacion
Esta tesis se centra en derivar métodos robustos o dispersos bajo la perspectiva de la optimización para problemas que tradicionalmente se engloban en los campos de la Estadística o de la Investigación Operativa. Concretamente, el objetivo de esta tesis doctoral es fusionar técnicas de optimización con conceptos estadísticos para desarrollar metodologías innovadorass que puedan mejorar a los métodos ya existentes y que aúnen las matemáticas teóricas con los problemas de la vida real. Por una parte, los métodos robustos propuestos facilitarán un nuevo enfoque sobre el modelado y la interpretación de problemas clásicos del área de la Investigación Operativa, produciendo soluciones que sean resistentes a varios tipos de incertidumbre. Por otra parte, las estrategias dispersas desarrolladas para resolver problemas notorios del área de Estadística tendrán forma de Problemas No Lineales Mixtos (es decir, problemas de optimización con algunas variables enteras o binarias y función objetivo no lineal, denotados MINLP a partir de ahora). Se mostrará que los métodos propuestos no solamente son manejables computacionalmente, sino que además realzan la interpretabilidad y obtienen una buena calidad de predicción. Específicamente, el Capítulo 1 se centra en descubrir causalidades potenciales en series temporales multivariantes. Esto se lleva a cabo formulando el problema como un MINLP donde las restricciones modelan distintos aspectos de la dispersión, incluyendo restricciones que no permiten la aparición de relaciones espúreas en el modelo. El método muestra un buen rendimiento en términos de poder de predicción y de recuperación del modelo original. Análogamente, el objetivo del Capítulo 2 es descubrir cuáles son los predictores relevantes en un problema de regresión lineal, sin llevar a cabo tests de significación ya que éstos pueden fallar si existe multicolinealidad. Para ello, se formulan MINLPs que restringen los métodos de estimación seleccionados, añadiendo restricciones que miden la importancia de los predictores y que están diseñadas para evitar los problemas que produce la multicolinearidad en los datos. Los modelos restringidos muestran un buen equilibrio entre interpretabilidad y precisión. Por otra parte, en el Capítulo 3 se generaliza el problema clásico del vendedor de periódicos, asumiendo demandas correladas. En particular, una estrategia de inventario robusta, donde no se asumen hipótesis distribucionales sobre la demanda, se formula como un problema de optimización. Para el modelado de dicho problema se hace uso de técnicas que ligan conceptos estadísticos con conjuntos de incertidumbre. Las soluciones obtenidas son robustas ante la presencia de ruido con alta variabilidad en los datos, mientras evitan el exceso de conservadurismo. En el Capítulo 4 se extiende esta formulación para series temporales multivariantes. El escenario es, además, más complejo: no solamente se busca fijar los niveles de producción, sino que se quiere determinar la localización de instalaciones y la asignación de clientes a las mismas. Empíricamente se muestra que, para diseñar una cadena de suministros eficiente, es importante tener en cuenta la correlación y la variabilidad de los datos multivariantes, desarrollando técnicas basadas en los datos que hagan uso de métodos de predicción robustos. Un examen más exhaustivo de las características específicas del problema y de los conjuntos de incertidumbre se lleva a cabo en el Capítulo 5, donde se estudia el problema de selección de portfolios con costes de transacción. En este capítulo se obtienen resultados teóricos que relacionan los costes de transacción con diferentes maneras de protección ante la incertidumbre de los retornos. Como consecuencia, los resultados numéricos muestran que calibrar la penalización de los costes de transacción produce resultados que son resistentes a los errores de estimación.
The discrete ordered median problem revisited: new formulations, propeties and algorithms
(2016-07-18) Ponce López, Diego; Puerto Albandoz, Justo; Labbé, Martine; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
Este trabajo estudia en profundidad la estructura del problema disctreto de la mediana ordenada (DOMP, por su acrónimo en inglés) con el objetivo de deñir nuevas formulaciones y algoritmos de resolución. Además, analizamos una interesante extensión del DOMP conocida como el problema monótono discreto de la mediana ordenada (MDOMP, de su acrónimo en inglés). Esta tesis se compone de tres grandes bloques. En primer lugar, se desarrolla un detallado estudio teórico y computacional. Se presentan varias formulaciones nuevas para el problema discreto de la mediana ordenada (DOMP) basadas en su similaridad con algunos problemas de secuenciación. Algunas de estas formulaciones requieren de un cosiderable menor número de restricciones para deñir el problema respecto a algunas de las formulaciones previamente conocidas. Además, las cotas inferiores proporcionadas por las relajaciones lineales mejoran a las obtenidas con formulaciones previas de la literatura incluso sin reforzar la nueva formulación. También presentamos un estudio poliédrico del politopo de asignación de nuestra formulación más compacta mostrando su proximidad con la envolvente convexa de las soluciones enteras del problema. Se comparan algunos procedimientos de resolución, entre los que destacamos un algoritmo de ramificación y corte. Amplios resultados computacionales sobre dos familias de instancias -aleatoriamente generadas y utilizando la Beasley's OR-librarymuestran la potencia de nuestros métodos para resolver el DOMP. En el segundo bloque, el problema discreto de la mediana ordenada es abordado con una formulación de particiones de conjuntos empleando un número exponencial de variables. Este capítulo desarrolla una nueva formulación en la que cada variable corresponde a un conjunto de puntos de demanda asignados al mismo servidor con la información de la posición obtenida de ordenar las distancias correspondientes. Utilizamos generación de columnas para resolver la relajación continua del modelo. Después, empleamos un algoritmo de ramificación, acotación y \pricing' ' para resolver a optimalidad tamaños moderados del DOMP en un tiempo computacional competitivo. Por último, el tercer bloque de este trabajo se dedica a analizar y comparar formulaciones para el problema monótono discreto de la mediana ordenada. Estas formulaciones combinan diferentes maneras de representar medidas de pesos ordenados de elementos utilizando programación lineal junto con el politopo de la p-mediana. Este enfoque da lugar a dos formulaciones eficientes para el DOMP bajo la hipótesis de monotonía en su vector _. Se comparan tepóricamente las formulaciones entre s__ y frente a algunas de las formulaciones válidas para el caso general. Adicionalmente, se desarrolla otra formulación válida para el caso general que explota la eficiencia de las ideas de la monotonicidad. Esta representación permite resolver eficientemente algunos ejemplos donde la monotonía se pierde ligeramente. Finalmente, llevamos a cabo un detallado estudio computacional, en el que se aprecia que las formulaciones ad hoc permiten resolver a optimalidad ejemplos cuyo tamaño supera los límites marcados en al caso general.
Comportamiento asintótico en tiempo de ecuaciones en derivadas parciales no locales
(2016-06-23) Herrera Cobos, Marta; Marín Rubio, Pedro; Caraballo Garrido, Tomás; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
En las últimas décadas muchos investigadores han estado interesados en estudiar problemas no locales por su utilidad en las aplicaciones reales. En esta tesis doctoral se analizan ecuaciones parabólicas con difusión no local que pueden usarse para modelar el comportamiento de poblaciones así como para estudiar la propagación del calor. Este trabajo está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 realizamos una descripción de la teoría abstracta de atractores pullback en el marco de los universos, la cual se utiliza en los Capítulos 2, 3 y 4 para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones. Concretamente, en el Capítulo 2, consideramos una ecuación parabólica no local con términos sublineales y no autónomos. En primer lugar se estudia la existencia y unicidad de solución débil y fuerte haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y argumentos de compacidad. A continuación, se obtiene la unicidad de solución estacionaria junto con el decaimiento exponencial de la solución del problema evolutivo hacia la estacionaria bajo determinadas condiciones. Finalmente, se demuestra la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Para ello probamos la compacidad asintótica pullback haciendo uso de un método de energía que utiliza la continuidad de las soluciones. En el Capítulo 3 analizamos una ecuación de reacción-difusión no local en presencia de términos no autónomos. Para demostrar la existencia de solución débil usamos un dominio regular debido a la base elegida para realizar los argumentos de compacidad. Además, realizamos algunas aportaciones en el marco estacionario: demostramos la existencia de soluciones no triviales y un resultado de comparación entre la solución del problema evolutivo y dos soluciones estacionarias. A continuación estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones, demostrando la existencia de atractores pullback en norma L2(). En este capítulo, para demostrar la existencia de atractores pullback en H1 0 (), necesitamos imponer algunas restricciones al término de reacción. En las últimas décadas muchos investigadores han estado interesados en estudiar problemas no locales por su utilidad en las aplicaciones reales. En esta tesis doctoral se analizan ecuaciones parabólicas con difusión no local que pueden usarse para modelar el comportamiento de poblaciones así como para estudiar la propagación del calor. Este trabajo está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 realizamos una descripción de la teoría abstracta de atractores pullback en el marco de los universos, la cual se utiliza en los Capítulos 2, 3 y 4 para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones. Concretamente, en el Capítulo 2, consideramos una ecuación parabólica no local con términos sublineales y no autónomos. En primer lugar se estudia la existencia y unicidad de solución débil y fuerte haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y argumentos de compacidad. A continuación, se obtiene la unicidad de solución estacionaria junto con el decaimiento exponencial de la solución del problema evolutivo hacia la estacionaria bajo determinadas condiciones. Finalmente, se demuestra la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Para ello probamos la compacidad asintótica pullback haciendo uso de un método de energía que utiliza la continuidad de las soluciones. En el Capítulo 3 analizamos una ecuación de reacción-difusión no local en presencia de términos no autónomos. Para demostrar la existencia de solución débil usamos un dominio regular debido a la base elegida para realizar los argumentos de compacidad. Además, realizamos algunas aportaciones en el marco estacionario: demostramos la existencia de soluciones no triviales y un resultado de comparación entre la solución del problema evolutivo y dos soluciones estacionarias. A continuación estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones, demostrando la existencia de atractores pullback en norma L2(). En este capítulo, para demostrar la existencia de atractores pullback en H1 0 (), necesitamos imponer algunas restricciones al término de reacción. 4 hacemos uso de técnicas diferentes a las empleadas en los capítulos anteriores para probar la compacidad asintótica. Los problemas analizados en los capítulos restantes de esta tesis, concretamente en los capítulos 6 y 7, están planteados en un marco multivaluado, ya que no podemos garantizar la unicidad de solución bajo las hipótesis impuestas. Para ello, en el Capítulo 5, estudiamos algunos resultados abstractos sobre sistemas dinámicos multivaluados para procesos. Dénimos algunos conceptos básicos y estudiamos varios resultados que nos permiten garantizar la existencia de atractores pullback en este nuevo marco y establecer relaciones entre estas familias. A continuación, en el Capítulo 6, estudiamos una ecuación de reacción-difusión no local sin unicidad de solución con una pequeña perturbación en el término de difusión y en la fuerza no autónoma. Demostramos la existencia de solución débil y fuerte, así como la existencia de atractores pullback en L2() y H1 0 (). Además estudiamos la propiedad de semicontinuidad superior de la familia de atractores pullback dependiente del parámetro cuando éste tiende a cero. En el Capítulo 7, analizamos un problema autónomo en el que el término de difusión está constituido por un operador no local y el p-Laplaciano, generalizando así la difusión con respecto a los capítulos anteriores, en los que todos los análisis se hicieron para el Laplaciano. En primer lugar, demostramos la existencia de solución débil, a través de un cambio de variable temporal, así como una propiedad de regularización del problema analizado. Además estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones demostrando la existencia del atractor global en L2(). Para analizar este proyecto, proporcionamos una lista de problemas y cuestiones abiertas que estamos analizando o que queremos abordar próximamente en el marco no local.
Juegos con cooperación restringida por grafos difusos
(2016-06-21) Gallego Sánchez, Inés Magdalena; Jiménez Losada, Andrés; Fernández García, Julio R.; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
Estabilidad en teoría combinatoria de la representación
(2016-04-29) Colmenarejo Hernando, Laura; Briand, Emmanuel; Rosas Celis, Mercedes Helena; Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (Antonio de Castro Brzezicki)
Esta tesis presenta el estudio de dos familias de coeﬁcientes: los coeﬁcientes del pletismo y los coeﬁcientes de Kronecker. Ambas familias emergen de la teoría de representaciones y la teoría de funciones simétricas. Por un lado, en 1950, Foulkes observó varias propiedades de estabilidad en sucesiones de coeﬁcientes del pletismo dependientes de un parámetro n: las sucesiones son eventualmente constantes para n suﬁcientemente grande. Estas propiedades fueron probadas en los 90 por Carré y Thibon, usando operadores vertex y otros argumentos combinatorios de funciones simétricas, y por Brion para grupos algebraicos en general (no solo para el grupo general linear) y usando herramientas geométricas de la teoría de representaciones. Incluimos una prueba detallada de los resultados probados por Carré y Thibon con el ﬁn de obtener las cotas para las que dichos coeﬁcientes son constantes. También presentamos una interpretación combinatoria de otros coeﬁcientes del pletismo, los h–coeﬁcientes del pletismo, deﬁnidos a partir de la base de funciones homogéneas. Estos coeﬁcientes están relacionados directamente con los coeﬁcientes del pletismo usuales mediante la fórmula de Jacobi–Trudi. Esta interpretación combinatoria de los h–coeﬁcientes del pletismo los describe como el número de puntos enteros en un polítopo que depende de las particiones que indexan los coeﬁcientes. Esta nueva interpretación nos permite dar una demostración combinatoria de las propiedades de estabilidad de Brion, Carré y Thibon. Por otro lado, en 1938, Murnaghan observó un fenómeno de estabilidad en los coeﬁcientes de Kronecker: la sucesión de coeﬁcientes de Kronecker, cuyas particiones asociadas tienen una primera parte creciente, son eventualmente constantes. Los coeﬁcientes de Kronecker reducidos se pueden deﬁnir como el valor estable de estas sucesiones de coeﬁcientes de Kronecker. Los coeﬁcientes de Kronecker reducidos son objetos interesantes en sí mismos, y podemos recuperar los coeﬁcientes de Kronecker a partir de ellos. Nosotros investigamos qué ocurre cuando añadimos cajas a las ﬁlas y columnas de las particiones que indexan los coeﬁcientes de Kronecker reducidos. Presentamos un estudio de cuatro familias. Para la primera familia de coeﬁcientes de Kronecker reducidos damos fórmulas explícitas de los quasipolinomios lineales de periodo 2 a trozos que los deﬁnen, dependiendo de las particiones asociadas. Las otras tres familias tienen en común que una de las particiones que las indexan tiene una sola parte, y que las otras dos particiones son arbitrariamente grandes. Para estas tres familias, presentamos un estudio completo: la función generatriz de los coeﬁcientes de Kronecker reducidos y dos descripciones combinatorias, una en términos de particiones planas en un rectángulo y otra como quasipolinomios, especiﬁcando el periodo y el grado de los mismos. Además, comprobamos que la hipótesis de saturación se satisface para los coeﬁcientes de Kronecker reducidos de estas tres familias. Otro enfoque interesante para los coeﬁcientes de Kronecker reducidos son los operadores vertex. Incluimos una prueba del teorema de Murnaghan usando operadores vertex. Esta prueba nos proporciona una descripción de los coeﬁcientes de Kronecker reducidos obtenida por Brion. Los operadores vertex también son usados para dar una descripción de los coeﬁcientes de Kronecker reducidos con una partición asociada de una sola parte en términos de los coeﬁcientes de Littlewood–Richardson.

Examinar

Envíos recientes