Máster Universitario en Matemáticas

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Desigualdades Espectrales y Control de Ecuaciones Parabólicas
(2026-07-08) Trujillo Ales, Miguel; Araujo de Souza, Diego; González Burgos, Manuel; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
The aim of this work is to study control problems for linear parabolic partial differential equations (PDEs), with a particular focus on the null controllability of the heat equation. We show that this problem can be addressed using two different approaches. First, we present the Lebeau–Robbiano method, which constructs an explicit control through an inductive procedure. We then examine the Miller method, which establishes null controllability by proving an observability inequality for the solution of a suitable adjoint problem. Moreover, this method yields an optimal estimate for the cost of fast control. Both approaches rely on a spectral inequality for the eigenfunctions of the Laplace-Dirichlet operator. Furthermore, we show that the proof of this spectral inequality is based on the well-known Carleman inequalities.
Teoria ergodica, fracciones continuas y dinámica hiperbólica
(2026-07-08) Ramos Orozco, David; García Vázquez, Juan Carlos; Análisis Matemático
El objetivo principal de este trabajo es presentar los fundamentos de la aproximaci´on diof´antica moderna, sustentada en la teor´ıa erg´odica sobre superficies hiperb´olicas. Para ello, destacaremos el papel de las fracciones continuas como precursoras que permitieron entrelazar la aritm´etica con la geometr´ıa.
Funciones de Schur y caminos aleatorios
(2026-07-08) Medinilla Garofano, Antonio; Álvarez Nodarse, Renato; Zurrián Deabate, Ignacio Nahuel; Análisis Matemático
En este trabajo se exponen las conexiones existentes entre la teoría de polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad compleja y la teoría de caminos aleatorios cuánticos unitarios, además de presentar el modelo de camino aleatorio cuántico abierto. El Capítulo 1 presenta el contexto histórico de ambos conceptos matemáticos: los polinomios ortogonales y los caminos aleatorios, así como de los inicios de la mecánica cuántica. En el Capítulo 2 se introducen nociones básicas de caminos aleatorios y espacios de funciones de módulo cuadrado integrable con respecto a una medida arbitraria. El Capítulo 3 está dedicado al estudio de las familias de polinomios ortogonales sobre la frontera del disco unidad complejo, al igual que la representación CMV. En el Capítulo 4, definimos el concepto de camino aleatorio cuántico y establecemos una correspondencia entre ellos y las medidas sobre la circunferencia unidad. Finalmente, en el Capítulo 5, se ilustran las complicaciones que surgen al pretender realizar físicamente estos sistemas y se define un nuevo modelo que las solventa: los caminos cuánticos abiertos.
Espacios clasificadores para familias de subgrupos
(2026-07-08) Luna Barranco, Andrés; Flores Díaz, Ramón Jesús; Geometría y Topología
This Master’s Thesis presents a study of geometric models for classifying spaces of groups and their role in the formulation and analysis of the Baum–Connes conjecture. The work begins with the necessary background on group actions, equivariant CW-complexes and covering spaces, providing the topological framework required to introduce classifying spaces for families of subgroups. Different approaches to these spaces are discussed, together with their fundamental properties and the relationships between the various models that arise in equivariant topology. The central part of the thesis is devoted to the construction and study of several important geometric models for classifying spaces. In particular, models arising from CAT(0) spaces, group actions on trees, affine buildings, Rips complexes, mapping class groups and other relevant families of groups are presented. Special attention is given to the finiteness properties of these models, highlighting how geometric and algebraic features of a group influence the existence of finite-dimensional or cocompact classifying spaces. Finally, the thesis introduces the basic notions of equivariant K-theory required to state the Baum–Connes conjecture and discusses its current status. Throughout the work, the emphasis is placed on illustrating the strong interplay between geometry, topology and group theory, showing how geometric models provide an essential framework for understanding this important conjecture.
Grafos circulares, complejos de independencia y Teoría de nudos
(2026-07-06) Crespo Almagro, Jerónimo; Silvero Casanova, Marithania; Álgebra
The main objective of this work is to present two objects of significant importance in Combinatorics: circle graphs and independence complexes. Circle graphs are a family of simple graphs obtained as intersection graphs of chord diagrams. Independence complexes are simplicial complexes whose simplices correspond to independent vertex sets of a graph. Both circle graphs and independence complexes have been extensively studied independently within Combinatorics, and have a substantial body of literature. In this work, we compile and present their principal known characterizations and properties. Then we focus on investigating the relationship between these two objects, which leads us to state the wedge of spheres Conjecture, posed by Przytycki and Silvero. This conjecture asserts that the independence complex of a circle graph is homotopy equivalent to a wedge of spheres. This property is shared by many other mathematical structures and has intrinsic interest. We present the main known families of circle graphs for which this conjecture has been verified. As a complementary objective,we contextualize the origin of the conjecture, which arises in the context of Knot Theory. In particular, the conjecture is related to Khovanov homology, a homological invariant of oriented links that admits a geometric realization of its extreme grading in terms of the independence complex of a precise circle graph. We provide the explicit construction of this realization and analize the implications of the wedge of spheres Conjecture for knots and links.
Dimensionality Reduction Techniques. Applications to Images
(2026-07-07) Allioui, Salma; Molero del Río, María Cristina; Estadística e Investigación Operativa
El presente Trabajo de Fin de Máster revisa varios métodos de reducción de dimensionalidad, con especial atención a su aplicación en imágenes, centrándose principalmente en la descomposición mediante Non-negative Matrix Factorization (NMF) y sus variantes regularizadas. Se presenta el marco matemático de los métodos clásicos de descomposición de matrices: Principal Component Analysis y Singular Value Decomposition como punto de partida para contextualizar las limitaciones de las representaciones con signo en el análisis de imágenes. El método NMF se introduce a continuación, ya que su naturaleza aditiva y no negativa proporciona representaciones interpretables y basadas en partes localizadas de la imagen, más adecuadas para datos de intensidad de píxel. A partir de esta base, se estudia en detalle el Sparse NMF, una extensión que incorpora regularización para aumentar la dispersión de los factores, mejorando así la localización de características y la selección de patrones relevantes. Se analizan y comparan distintas penalizaciones ℓ0, ℓ1, ℓ2,1 y ℓ2 , evaluando su efecto sobre la fidelidad de la reconstrucción y la interpretabilidad de la descomposición. Finalmente, se investiga una novedosa formulación conjunta de NMF disperso para imágenes en color basada en una penalización de grupo ℓ∞, que acopla los tres canales RGB de modo que cada componente de la base se active o se anule simultáneamente en los tres canales, garantizando así coherencia cromática. Se proponen y comparan dos algoritmos para resolver este problema: un método Greedy de conjunto activo y un enfoque basado en Variable Neighborhood Search.
Estudio de la existencia de solución débil para las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles
(2026-06-11) Sierra Montes, Laura; Rodríguez Bellido, María Ángeles; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
El presente trabajo se centra en el estudio de la existencia de solución débil para las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles. En primer lugar, presentamos un modelo para un flujo compresible a partir de las leyes de Newton, las leyes de la termodinámica y las leyes de la conservación de la masa, el momento lineal, la energía total y la entropía. Este modelo se corresponde con un sistema de ecuaciones de Navier-Stokes-Fourier cuyas variables de estado son la densidad, la velocidad y la temperatura del fluido. Debido a la complejidad del sistema, más tarde se someterá ese modelo a un proceso de simplificación asumiendo que la temperatura es constante y se discutirán las condiciones bajo las cuales el prototipo resultante dispone de solución en un sentido adecuado. Dicho análisis se basará en estrategias de regularización y estimaciones uniformes que aparecen en el libro Singular Limits of Thermodynamics of Viscous Fluids, escrito por Eduard Feireisl y Antonín Novotny, y su redacción se centrará en localizar cuáles son los argumentos básicos que intervienen en los razonamientos. Ante los problemas técnicos y analíticos que entraña un tema como este, resulta más conveniente priorizar la exposición de sus ideas generales en lugar de abordar resultados concretos de manera detallada, aunque siempre sin renunciar al rigor. Este enfoque prevalecerá a lo largo de este documento con el objetivo de facilitar que lectores con conocimientos b´asicos en ecuaciones diferenciales puedan aproximarse a las matemáticas de los fluidos compresibles.
Técnicas Metaheurísticas para la resolución del Problema de Enrutamiento de Vehículos con Capacidad
(2026-06-10) Mena Lanero, José; Molero del Río, María Cristina; Estadística e Investigación Operativa
El transporte y la distribución de bienes y servicios representan uno de los pilares fundamentales de la economía y la sociedad contemporánea. En un entorno globalizado y altamente competitivo, la gestión eficiente de la cadena de suministro no solo es una ventaja estratégica, sino una necesidad operativa. Diariamente, las organizaciones destinan enormes recursos económicos a sufragar gastos de combustible, mantenimiento de flotas y personal de reparto. En este contexto, la Investigación Operativa surge como una disciplina esencial al proporcionar herramientas técnicas para la optimización de recursos, tanto a nivel económico como medioambiental, contribuyendo significativamente tanto a la reducción de la huella de carbono como al cumplimiento de los objetivos de sostenibilidad. Este trabajo viene motivado por el BKS Challenge [CVRPLIB, 2026] que surgió en enero de este mismo año, donde se propuso resolver instancias [Queiroga et al., 2026] de entre 1000 y 10000 nodos del Problema de Enrutamiento de Vehículos con Capacidad (CVRP, por sus siglas en inglés), problema que centrará el desarrollo de este trabajo. Para su resolución queda totalmente inútil cualquier acercamiento exacto, por lo que se estudian diferentes enfoques heurísticos para resolver este problema. El trabajo se organiza de la siguiente manera. En el Capítulo 1 se describe el problema CVRP y se da su formulación como problema combinatorio entero, probando además que es NP-completo. En el Capítulo 2 se presenta diversa literatura sobre cómo ha ido evolucionando el estado del arte del problema. En el Capítulo 3 se presentan diferentes técnicas heurísticas que abordan el problema. En el Capítulo 4 se presenta el algoritmo personalizado propuesto en este trabajo para resolver el CVRP. En el Capítulo 5 se comparan resultados experimentales de las diferentes técnicas en diferentes bancos de instancias. Por último, se desarrollan las conclusiones del trabajo y futuras líneas de investigación. Además, se adjunta un Anexo con los pseudocódigos de cada fase del algoritmo.
Optimization in Railway Networks
(2026-02-04) García Rivas, Darvin Ramón; Perea Rojas-Marcos, Federico; Matemática Aplicada II
Train cleanliness is a critical yet often overlooked component of railway operations, with a direct impact on passenger satisfaction and operational efficiency. Despite its importance, cleaning activities are often planned manually or treated as a secondary constraint. This thesis addresses this gap by studying the Train Cleaning Scheduling Problem (TCSP) and proposing optimization-based decision-support models for railway cleaning operations. The TCSP is formulated as a Mixed-Integer Linear Programming (MILP) problem that assigns cleaning tasks to trains over a finite planning horizon. The objective is to maximize the number of feasible cleanings while respecting operational constraints such as train availability, station-level capacity, minimum and maximum time intervals between consecutive cleanings, and mandatory hygiene requirements. Cleaning feasibility is derived from real dwell times at stations, and conflicts are modeled through disjunctive no-overlap constraints. Starting from a base formulation assuming a single cleaning resource per station, we identify feasibility and scalability limitations when applied to real-world data with synchronized arrivals. To address these issues, we introduce two extended models that explicitly capture station capacity: a station-duplication model with parallel cleaning lines, and a slot-based assignment model with intra-slot ordering. Valid inequalities and an alternative frequency-based coverage constraint are also proposed to improve computational performance. The models are implemented in Pyomo and tested on real operational data from a Danish railway operator. Computational results show that the extended formulations significantly improve feasibility and scalability while preserving solution quality, providing practical insights for the tactical planning of train cleaning operations.
Lens space surgeries
(2026-06-12) Gómez Cirera, Cristina; Silvero Casanova, Marithania; Kegel, Marc; Álgebra
The study and classification of 3-manifolds constitute one of the central areas of research in low-dimensional topology. One of the main tools in this field is Dehn surgery, which allows us to obtain any 3-manifold by performing an operation along a finite collection of disjoint knots in the 3-sphere (intuitively, a knot may be viewed as a piece of rope that we tie and then glue its endpoints together). Among the simplest 3-manifolds to construct in this way are lens spaces. A lens space can be defined as the 3-manifold that results from gluing together two solid tori along their boundaries by an orientation-reversing diffeomorphism. It is therefore natural to ask in which ways a lens space can be obtained via Dehn surgery on a knot. In the 1990s, J. Berge introduced twelve families of knots in S3 that yield lens spaces through Dehn surgery and conjectured that these are the only knots in S3 admitting such surgeries. Although substantial progress has been made towards the resolution of this conjecture, it remains an open problem. The aim of this dissertation is to provide the necessary background to understand Berge’s construction and to generalise it to the setting in which the surgery is performed on a knot embedded in an arbitrary lens space.
Modelos predictivos en ecosistemas digitales
(2025-11-12) García Ruiz, Adrián; Álvarez Nodarse, Renato; Coronado Núñez, Daniel; Análisis Matemático; FQM415: Modelado Físico-Matemático de Sistemas no Lineales
This document presents the report of a project carried out during an internship at Sevilla Football Club. The project consisted of studying and improving the existing Na¨ıve-Bayes predictive model used by the company. To achieve this, on one hand, a new model similar to Na¨ıve-Bayes will be created, but assuming a weaker hypothesis — the so-called k-dependence Bayesian network. On the other hand, the project will address the problem of adding new variables to a predictive model, focusing on the particular case of how variables related to user sociodemographics have been incorporated into Sevilla F.C.’s model, as well as into the k-dependence model. Finally, the results of each model will be studied and compared, analyzing the improvements that may have been achieved.
Controlabilidad de sistemas diferenciales ordinarios y sistemas parabólicos
(2025-07-09) Vega Gallo, Mercedes; González Burgos, Manuel; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
The present work is a theoretical study on the controllability properties of ordinary differential equations (ODEs) and parabolic partial differential equations in linear and nonlinear settings. We present classical results on exact controllability of linear ODEs with a focus on two central characterizations: the controllability Gramian matrix and the Kalman rank condition for time-invariant systems. We also deal with the approximate and null controllability of linear parabolic equations, where we put special emphasis on the so-called global Carleman estimates. Finally, we prove the null controllability for the sublinear problem using fixed point techniques and the parabolic regularity of the system, and briefly examine the case of superlinear nonlinearities.
Álgebras de Lie representadas mediante estructuras combinatorias
(2025-07-09) Valdez Luciano, Jhefferson José; Fernández Ternero, Desamparados; Villar Liñán, María Trinidad; Geometría y Topología
En este trabajo se estudia n las álgebras de Lie a través del análisis de la estructura combinatoria asociada mediante un cierto procedimiento para diferentes tipos de dichas estructuras . A partir de la expresió n de la ley del álgebra sobre cierta base fijada , se obtiene una estructura combinatoria sobre la que se estudian condiciones bajo las cuales dichas álgebras resultan resolubles, nilpotentes, abelianas o triviales. En consecuencia, se utilizan diferentes criterios algebraicos y combinatorios para realizar una caracterización de la estructura interna de las álgebras de Lie en base a las propiedades de la estructura combinatoria que asociamos al álgebra . El trabajo recoge los principales resultados obtenidos sobre estas estructuras combinatorias , presentando un enfoque sistemático que permite clasificar álgebras de Lie en función de la estructura combinatoria considerada , así como ampliar los resultados a familias más generales.
El Teorema de Dirichlet
(2025-07-08) Montesdeoca del Pino, Daniel; Rojas León, Antonio; Álgebra
Prime numbers have intrigued mathematicians for millennia, from Euclid’s proof of their infinitude to this day, where numerous conjectures involving prime numbers remain unproven. Euler later linked their study to the Riemann zeta function via the Euler product, reproving Euclid’s result analytically. This work generalizes Euclid’s theorem to arithmetic progressions {𝑎 + 𝑚𝑘 ∶ 𝑎,𝑚 ∈ ℕ, gcd(𝑎,𝑚) = 1, 𝑘 ∈ ℕ}, known as Dirichlet’s theorem, which guarantees infinitely many primes in every such sequence. We present a classical proof leveraging analytic number theory (Riemann zeta function, Dirichlet characters, L-series) and algebraic number theory (Dedekind domains, ideal ramification, class groups, unit groups). In developing this master’s thesis, we have primarily followed Ribenboim’s book.
Models and stone spaces: The topology of logic
(2025-06-11) López Aquino, Kevin Alexander; Lara Martín, Francisco Félix; Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
This master’s thesis explores Stone duality and its applications to classical propositional and first-order logic. Stone duality provides an equivalence between Boolean algebras and Stone spaces—compact, Hausdorff, totally disconnected topological spaces—and serves as a bridge between algebraic, topological, and logical perspectives. Chapter 1 develops the algebraic and topological foundations. Chapters 2 and 3 apply these tools to propositional and first-order logic, establishing completeness and compactness theorems via duality. Chapter 4 illustrates model-theoretic applications, including ultraproducts, and the omitting types theorem. Throughout, logical concepts are translated into algebraic and topological terms and viceversa, revealing deep structural connections. Stone duality offers a unified framework for understanding the interaction between logic, algebra, and topology.
Espacios de Hardy de series de Dirichlet y operadores de composición
(2025-07-09) Jiménez Sánchez, David; Contreras Márquez, Manuel Domingo; Rodríguez Piazza, Luis; Análisis Matemático
Este texto es una exposición de algunos de los avances en la teoría de series de Dirichlet desde los inicios del siglo pasado. Deducimos las propiedades más elementales de estas series, para luego obtener propiedades de los espacios de Hardy de series de Dirichlet H2 y H∞ mediante el punto de vista de Bohr y herramientas de Análisis Funcional, Complejo y Arm´onico. Finalmente, estudiamos el problema de los operadores de multiplicaci´on y composici´on de H2, siguiendo principalmente la prueba original de Gordon y Hedenmalm, combin´andolas con ideas posteriores de Bailleul y Devinck, y detallando a nivel elemental los pasos que no lo están en sus artículos.
Historia de dos (o más) funciones. Sobre las correlaciones de funciones aritméticas y sus aplicaciones
(2025-06-10) Hernández de la Hera, Juan Manuel; Curbera Costello, Guillermo; Análisis Matemático
Este trabajo tiene como objetivo recopilar y presentar de manera accesible los resultados m´as relevantes sobre las correlaciones de funciones aritm´eticas y sus aplicaciones en Teor´ıa de N´umeros, destacando su creciente importancia y la variedad de aplicaciones ingeniosas que conllevan. La obra se estructura en ocho cap´ıtulos. El primero introduce las nociones b´asicas sobre correlaciones y fundamentos de la Teor´ıa Anal´ıtica de N´umeros. Los cap´ıtulos siguientes se enfocan en funciones aritm´eticas espec´ıficas: el segundo en las correlaciones de la funci´on de Liouville, el tercero en las de la funci´on de M¨obius, incluyendo correlaciones m´ultiples y no lineales. El cuarto cap´ıtulo aborda resultados sobre correlaciones de forma m´as general, usando para ello propiedades de las sumas de Ramanujan, y el quinto estudia las correlaciones de funciones aritm´eticas multiplicativas y sus aplicaciones. El sexto explora conjeturas actuales donde las correlaciones juegan un papel clave. En el s´eptimo se realiza un an´alisis computacional de los resultados anteriores con ejemplos en R. Finalmente, el octavo cap´ıtulo reflexiona sobre las futuras aplicaciones y el potencial del estudio de las correlaciones en la investigaci´on matem´atica.
El Uso del Producto de Hadamard de Cuasigrupos en la Descripci´on de Nuevos Protocolos Criptogr´aficos
(2025-07-07) González Martínez, Manuel; Falcón Ganfornina, Raúl Manuel; Matemática Aplicada I
El presente Trabajo de Fin de M´aster se centra en el uso del denominado producto Hadamard de cuasigrupos para la descripci´on de un nuevo protocolo de autenticaci´on gr´afica. Esta ´ultima es una rama de la criptograf´ıa que cada vez ha ganado m´as fuerza e inter´es en su estudio, pues, como demuestra el estudio realizado en [19], las personas recuerdan mejor las im´agenes que las contrase˜nas alfanum´ericas. Debido a la relaci´on que tiene la tabla de multiplicar (o tabla de Cayley) de cuasigrupos con los cuadrados latinos y sus aplicaciones a distintos campos, ´ultimamente ha habido varios estudios que han hecho un gran avance en el tema. Dentro de la combinatoria encontramos tambi´en el llamado producto Durante el trabajo, veremos tambi´en algunos ejemplos que ilustren y ayuden a comprender los temas tratados. Adem´as, a forma de completar el trabajo y para facilitar c´alculos, hemos a˜nadido en los anexos dos c´odigos que codifican el producto de Hadamard sobre cuasigrupos ternarios de matrices tridimensionales y este mismo producto iterado a la derecha. de Hadamard, que podemos particularizar a los cuasigrupos. Concretamente, usaremos el producto Hadamard con base un cuadrado latino asociado a un cuasigrupo que se aplica a dos matrices. El objetivo de este trabajo es ver algunas relaciones que hay entre autenticaci ´on gr´afica, cuasigrupos y producto de Hadamard, centr´andonos en la aplicaci´on tratada en [10] y trataremos de mejorarla, ampliando el producto de Hadamard a cuasigrupos de dimensi´on mayor. Concretamente, daremos una nueva aplicaci ´on para cuasigrupos ternarios. En primer lugar, introduciremos la teor´ıa b´asica sobre cuasigrupos, producto de Hadamard y autenticaci´on gr´afica. Para relacionar estos temas, veremos algunas aplicaciones de los cuasigrupos a la autenticaci´on gr´afica, viendo con m´as detalle la que utiliza el producto de Hadamard. Para finalizar y completar el objetivo, introduciremos la teor´ıa reciente sobre cuasigrupos m-arios (y su correspondiente producto de Hadamard), en particular para m = 3, y veremos como relacionarlos con la aplicaci´on anterior para tratar de mejorarla.
Chromatic persistent homology. Introduction and Applications
(2025-07-09) Arriaza Rincón, Manuel; Jiménez Rodríguez, María José; Stolz, Bernadette; Matemática Aplicada I
In this work we present the main definitions and tools in persistent homology. We will study some relations between the chromatic filtrations and how to apply these methods in the topological analysis of monochromatic and multicolored point clouds. Lastly, we will show how we can apply them in other areas of mathematics. Especially in the field of spatial biology.
Computing a pursuer path in straight-line motion with minimum numbers of turns
(2025-07-09) Barrera Vicent, Aurelio; Díaz Báñez, José Miguel; Matemática Aplicada II
In this work, we introduce a trajectory planning problem for a marsupial robotic system consisting of a ground robot, a drone or aerial robot, and a boundedlength taut tether L connecting the two robots. We study a scenario in which the ground robot and the drone move along parallel lines within a vertical plane. The drone follows a predefined back and forth trajectory at a constant speed, and the problem is to determine an optimal path for a ground robot. The objective is to calculate a minimum link trajectory, a back and forth path composed of the fewest possible direction changes, and a constant speed for the ground robot, ensuring that the separation between the two robots does not exceed L at any point. This problem can be framed within the context of a pursuit-evasion game, where the evader’s trajectory is known, and the goal is to compute an optimal trayectory for the pursuer. Employing geometric modeling techniques, we develop an optimal algorithm to compute a parameterized minimum-link trajectory for the ground-based pursuer, given the a priori known trajectory of the aerial evader. Additionally, we solve three interconnected geometric optimization problems by systematically exploiting their inherent relationships.

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