Máster Universitario en Matemáticas

URI permanente para esta colecciónhttps://hdl.handle.net/11441/43635

Examinar

Mostrando 1 - 20 de 106

Controlabilidad de sistemas diferenciales ordinarios y sistemas parabólicos
(2025-07-09) Vega Gallo, Mercedes; González Burgos, Manuel; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
The present work is a theoretical study on the controllability properties of ordinary differential equations (ODEs) and parabolic partial differential equations in linear and nonlinear settings. We present classical results on exact controllability of linear ODEs with a focus on two central characterizations: the controllability Gramian matrix and the Kalman rank condition for time-invariant systems. We also deal with the approximate and null controllability of linear parabolic equations, where we put special emphasis on the so-called global Carleman estimates. Finally, we prove the null controllability for the sublinear problem using fixed point techniques and the parabolic regularity of the system, and briefly examine the case of superlinear nonlinearities.
Álgebras de Lie representadas mediante estructuras combinatorias
(2025-07-09) Valdez Luciano, Jhefferson José; Fernández Ternero, Desamparados; Villar Liñán, María Trinidad; Geometría y Topología
En este trabajo se estudia n las álgebras de Lie a través del análisis de la estructura combinatoria asociada mediante un cierto procedimiento para diferentes tipos de dichas estructuras . A partir de la expresió n de la ley del álgebra sobre cierta base fijada , se obtiene una estructura combinatoria sobre la que se estudian condiciones bajo las cuales dichas álgebras resultan resolubles, nilpotentes, abelianas o triviales. En consecuencia, se utilizan diferentes criterios algebraicos y combinatorios para realizar una caracterización de la estructura interna de las álgebras de Lie en base a las propiedades de la estructura combinatoria que asociamos al álgebra . El trabajo recoge los principales resultados obtenidos sobre estas estructuras combinatorias , presentando un enfoque sistemático que permite clasificar álgebras de Lie en función de la estructura combinatoria considerada , así como ampliar los resultados a familias más generales.
El Teorema de Dirichlet
(2025-07-08) Montesdeoca del Pino, Daniel; Rojas León, Antonio; Álgebra
Prime numbers have intrigued mathematicians for millennia, from Euclid’s proof of their infinitude to this day, where numerous conjectures involving prime numbers remain unproven. Euler later linked their study to the Riemann zeta function via the Euler product, reproving Euclid’s result analytically. This work generalizes Euclid’s theorem to arithmetic progressions {𝑎 + 𝑚𝑘 ∶ 𝑎,𝑚 ∈ ℕ, gcd(𝑎,𝑚) = 1, 𝑘 ∈ ℕ}, known as Dirichlet’s theorem, which guarantees infinitely many primes in every such sequence. We present a classical proof leveraging analytic number theory (Riemann zeta function, Dirichlet characters, L-series) and algebraic number theory (Dedekind domains, ideal ramification, class groups, unit groups). In developing this master’s thesis, we have primarily followed Ribenboim’s book.
Models and stone spaces: The topology of logic
(2025-06-11) López Aquino, Kevin Alexander; Lara Martín, Francisco Félix; Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
This master’s thesis explores Stone duality and its applications to classical propositional and first-order logic. Stone duality provides an equivalence between Boolean algebras and Stone spaces—compact, Hausdorff, totally disconnected topological spaces—and serves as a bridge between algebraic, topological, and logical perspectives. Chapter 1 develops the algebraic and topological foundations. Chapters 2 and 3 apply these tools to propositional and first-order logic, establishing completeness and compactness theorems via duality. Chapter 4 illustrates model-theoretic applications, including ultraproducts, and the omitting types theorem. Throughout, logical concepts are translated into algebraic and topological terms and viceversa, revealing deep structural connections. Stone duality offers a unified framework for understanding the interaction between logic, algebra, and topology.
Espacios de Hardy de series de Dirichlet y operadores de composición
(2025-07-09) Jiménez Sánchez, David; Contreras Márquez, Manuel Domingo; Rodríguez Piazza, Luis; Análisis Matemático
Este texto es una exposición de algunos de los avances en la teoría de series de Dirichlet desde los inicios del siglo pasado. Deducimos las propiedades más elementales de estas series, para luego obtener propiedades de los espacios de Hardy de series de Dirichlet H2 y H∞ mediante el punto de vista de Bohr y herramientas de Análisis Funcional, Complejo y Arm´onico. Finalmente, estudiamos el problema de los operadores de multiplicaci´on y composici´on de H2, siguiendo principalmente la prueba original de Gordon y Hedenmalm, combin´andolas con ideas posteriores de Bailleul y Devinck, y detallando a nivel elemental los pasos que no lo están en sus artículos.
Historia de dos (o más) funciones. Sobre las correlaciones de funciones aritméticas y sus aplicaciones
(2025-06-10) Hernández de la Hera, Juan Manuel; Curbera Costello, Guillermo; Análisis Matemático
Este trabajo tiene como objetivo recopilar y presentar de manera accesible los resultados m´as relevantes sobre las correlaciones de funciones aritm´eticas y sus aplicaciones en Teor´ıa de N´umeros, destacando su creciente importancia y la variedad de aplicaciones ingeniosas que conllevan. La obra se estructura en ocho cap´ıtulos. El primero introduce las nociones b´asicas sobre correlaciones y fundamentos de la Teor´ıa Anal´ıtica de N´umeros. Los cap´ıtulos siguientes se enfocan en funciones aritm´eticas espec´ıficas: el segundo en las correlaciones de la funci´on de Liouville, el tercero en las de la funci´on de M¨obius, incluyendo correlaciones m´ultiples y no lineales. El cuarto cap´ıtulo aborda resultados sobre correlaciones de forma m´as general, usando para ello propiedades de las sumas de Ramanujan, y el quinto estudia las correlaciones de funciones aritm´eticas multiplicativas y sus aplicaciones. El sexto explora conjeturas actuales donde las correlaciones juegan un papel clave. En el s´eptimo se realiza un an´alisis computacional de los resultados anteriores con ejemplos en R. Finalmente, el octavo cap´ıtulo reflexiona sobre las futuras aplicaciones y el potencial del estudio de las correlaciones en la investigaci´on matem´atica.
El Uso del Producto de Hadamard de Cuasigrupos en la Descripci´on de Nuevos Protocolos Criptogr´aficos
(2025-07-07) González Martínez, Manuel; Falcón Ganfornina, Raúl Manuel; Matemática Aplicada I (ETSII)
El presente Trabajo de Fin de M´aster se centra en el uso del denominado producto Hadamard de cuasigrupos para la descripci´on de un nuevo protocolo de autenticaci´on gr´afica. Esta ´ultima es una rama de la criptograf´ıa que cada vez ha ganado m´as fuerza e inter´es en su estudio, pues, como demuestra el estudio realizado en [19], las personas recuerdan mejor las im´agenes que las contrase˜nas alfanum´ericas. Debido a la relaci´on que tiene la tabla de multiplicar (o tabla de Cayley) de cuasigrupos con los cuadrados latinos y sus aplicaciones a distintos campos, ´ultimamente ha habido varios estudios que han hecho un gran avance en el tema. Dentro de la combinatoria encontramos tambi´en el llamado producto Durante el trabajo, veremos tambi´en algunos ejemplos que ilustren y ayuden a comprender los temas tratados. Adem´as, a forma de completar el trabajo y para facilitar c´alculos, hemos a˜nadido en los anexos dos c´odigos que codifican el producto de Hadamard sobre cuasigrupos ternarios de matrices tridimensionales y este mismo producto iterado a la derecha. de Hadamard, que podemos particularizar a los cuasigrupos. Concretamente, usaremos el producto Hadamard con base un cuadrado latino asociado a un cuasigrupo que se aplica a dos matrices. El objetivo de este trabajo es ver algunas relaciones que hay entre autenticaci ´on gr´afica, cuasigrupos y producto de Hadamard, centr´andonos en la aplicaci´on tratada en [10] y trataremos de mejorarla, ampliando el producto de Hadamard a cuasigrupos de dimensi´on mayor. Concretamente, daremos una nueva aplicaci ´on para cuasigrupos ternarios. En primer lugar, introduciremos la teor´ıa b´asica sobre cuasigrupos, producto de Hadamard y autenticaci´on gr´afica. Para relacionar estos temas, veremos algunas aplicaciones de los cuasigrupos a la autenticaci´on gr´afica, viendo con m´as detalle la que utiliza el producto de Hadamard. Para finalizar y completar el objetivo, introduciremos la teor´ıa reciente sobre cuasigrupos m-arios (y su correspondiente producto de Hadamard), en particular para m = 3, y veremos como relacionarlos con la aplicaci´on anterior para tratar de mejorarla.
Chromatic persistent homology. Introduction and Applications
(2025-07-09) Arriaza Rincón, Manuel; Jiménez Rodríguez, María José; Stolz, Bernadette; Matemática Aplicada I (ETSII)
In this work we present the main definitions and tools in persistent homology. We will study some relations between the chromatic filtrations and how to apply these methods in the topological analysis of monochromatic and multicolored point clouds. Lastly, we will show how we can apply them in other areas of mathematics. Especially in the field of spatial biology.
Computing a pursuer path in straight-line motion with minimum numbers of turns
(2025-07-09) Barrera Vicent, Aurelio; Díaz Báñez, José Miguel; Matemática Aplicada II (ETSI)
In this work, we introduce a trajectory planning problem for a marsupial robotic system consisting of a ground robot, a drone or aerial robot, and a boundedlength taut tether L connecting the two robots. We study a scenario in which the ground robot and the drone move along parallel lines within a vertical plane. The drone follows a predefined back and forth trajectory at a constant speed, and the problem is to determine an optimal path for a ground robot. The objective is to calculate a minimum link trajectory, a back and forth path composed of the fewest possible direction changes, and a constant speed for the ground robot, ensuring that the separation between the two robots does not exceed L at any point. This problem can be framed within the context of a pursuit-evasion game, where the evader’s trajectory is known, and the goal is to compute an optimal trayectory for the pursuer. Employing geometric modeling techniques, we develop an optimal algorithm to compute a parameterized minimum-link trajectory for the ground-based pursuer, given the a priori known trajectory of the aerial evader. Additionally, we solve three interconnected geometric optimization problems by systematically exploiting their inherent relationships.
Prescriptive Modality Selection for Classification and Regression
(2025-07-08) Castro Gómez, José Carlos; Carrizosa Priego, Emilio José; Guerrero Lozano, Vanesa; Estadística e Investigación Operativa
This Master’s thesis presents new approaches for supervised learning in settings where data come from different sources with variable acquisition costs. A novel methodology is developed to leverage all available observations to construct predictive models, enabling efficient learning for both classification and regression tasks. The resulting model allows users to perform local prescription, that is, to determine, for a given budget, which block(s) of features should be measured for each new observation in order to minimize prediction error and obtain the corresponding prediction. To this end, we develop a customized Random Forest model specifically designed for prescriptive purposes. While this predictive model has limited utility outside the prescriptive framework, it plays a central role in determining which blocks of features are most informative to measure for a new set of observations. This set is referred to as the prescriptive set, and our goal is to perform local prescription within it. The proposed algorithm begins by training the proposed customized Random Forest using a fully observed training set, namely a dataset for which all the blocks of variables (or modalities) have been observed jointly with the target variable. This model is then used to estimate the prediction error for each individual in the prescriptive set and across different possible selections of modalities. These estimated errors are subsequently used to define an optimization problem that determines which modalities to acquire for each individual in the so-called prescriptive set. Once the optimal prescription has been obtained and the assigned modalities have been measured and are available to each individual, the same customized Random Forest can then be applied to generate their final prediction. The proposed methodology has been successfully validated on both synthetic and real-world datasets.
Descomposición de módulos de persistencia y aplicaciones
(2025-06-11) Delgado Garrido, Marco; González Díaz, Rocío; Torras Casas, Álvaro; Matemática Aplicada I (ETSII)
En esta memoria se lleva a cabo una exposición autocontenida de la teoría de módulos de persistencia y todos los preliminares necesarios para dar una prueba completa del teorema de descomposición de módulos de persistencia. Posteriormente, como aplicación, se presenta la teoría de homología persistente y su generalización multiparamétrica, demostrando los correspondientes resultados de estabilidad y explicando cómo aplicar la teoría de homología persistente al análisis topológico a través de ejemplos visuales. Además, se exponen resultados novedosos fruto de un trabajo conjunto con los tutores de esta memoria, que caracterizan la homología persistente 𝑛- dimensional en base a la homología persistente 0-dimensional a través de resoluciones de módulos de persistencia. Estos resultados han sido aceptados para su presentación en la conferencia nacional: "The XXI Spanish Meeting on Computational Geometry" (EGC2025).
Superficies marginalmente atrapadas en espacios de Robertson-Walker
(2025-07-08) Serrano Díaz, Alejandro; Carriazo Rubio, Alfonso; Geometría y Topología
En el presente trabajo, estudiaremos las superficies marginalmente atrapadas (abreviadamente MT, del inglés “marginally trapped”) en los espacios de Robertson-Walker, espacios que modelan un universo en expansión o contracción. Este tipo de superficies resultan de interés en cosmología, pues, bajo cierta métrica, representan el horizonte aparente de un agujero negro. Para comenzar, veremos ciertos resultados que nos ayudarán a comprender la geometría de los producto warped –que generalizan a los de Robertson-Walker–. A continuación, y tras adaptar estos mismos a los espacios de Robertson-Walker, procederemos a caracterizar las superficies MT en las secciones espaciales de dichos espacios, aportando, además, resultados de existencia y no existencia de las mismas. Seguidamente, desarrollaremos un procedimiento para construirlas y finalizaremos estudiando los tubos MT en los espacios de Robertson-Walker.
El teorema de Kronecker-Weber
(2025-07-08) Marco Sanz, Irene; Rojas León, Antonio; Álgebra
La finalidad de este trabajo es presentar una demostración completa del Teorema de Kronecker-Weber, el cual afirma que toda extensión abeliana finita de ℚ está contenida en un cuerpo ciclotómico. En otras palabras, todo elemento de una extensión abeliana finita de ℚ puede expresarse como una combinación lineal de raíces de la unidad con coeficientes racionales. A lo largo de este documento se desarrollan las herramientas teóricas necesarias, como el estudio de extensiones ciclotómicas, dominios de Dedekind y la ramificación de ideales primos, que permiten comprender el desarrollo de este resultado.
Formas Modulares respecto de ¿_0 (N) y aplicaciones a formas cuadráticas
(2024-11-13) Vargas Magán, María; García Vázquez, Juan Carlos
Este trabajo explora las propiedades de las formas modulares respecto a subgrupos de congruencia, centr´andose en el subgrupo Γ0(N). Comenzamos con una introducci´on al semiplano superior de Poincar´e, presentando las transformaciones fraccionarias lineales y describiendo la geometr´ıa hiperb´olica. Luego, en el segundo y tercer cap´ıtulo presentamos los subgrupos de congruencia y exponemos las series de Eisenstein, las series theta y la funci´on discriminante. Relacionaremos estos ejemplos de formas modulares con las formas cuadr´aticas, una cuesti´on importante en la teor´ıa de n´umeros ya que nos permiten contar y clasificar las maneras en que un n´umero puede expresarse como suma de cuadrados. En el cuarto cap´ıtulo probaremos que los espacios de formas modulares, tanto en el grupo completo PSL2(Z) como en subgrupos de congruencia, tienen dimensi´on finita. En el ´ultimo cap´ıtulo, presentamos los operadores de Hecke. Adem´as de ser una herramienta clave que permite calcular los coeficientes de Fourier de formas modulares concretas, los operadores de Hecke permiten saber c´omo se organiza el espacio de formas modulares.
D-módulos hipergeométricos
(2024-11-14) Ruiz Alba, José Alberto; Castaño Domínguez, Alberto
El objetivo principal de este trabajo es definir y relacionar ciertas familias de - módulos algebraicos los cuales pueden considerarse como hipergeométricos (Horn, GKZ y clásicos de dimensión uno). Para ello, emprenderemos un viaje por el álgebra de Weyl y sus ideales en el que abordaremos conceptos como la holonomía y aprenderemos un poco de teoría de bases de Gröbner. Más adelante, nos adentraremos de lleno en la geometría algebraica, presentando la noción de 𝑏-función de un ideal así como la restricción de un -módulo cíclico a un subespacio afín.
Números de dominación, emparejamiento y transversal en hipergrafos Berge-G
(2024-11-13) Montero Moreno, Pablo; Chávez de Diego, María José; Villar Liñán, María Trinidad
La noción de hipergrafo generaliza la de grafo haciendo que una misma “arista” pueda conectar más de dos vértices, pasando a denominarse hiperarista. Un tipo de hipergrafo se consigue a partir de un grafo dado G de manera que este quede contenido en aquel; este tipo de hipergrafo se llama hipergrafo Berge-G o hipergrafo de Berge de G. El objetivo principal de este trabajo es analizar qué propiedades de G heredan los Berge-G, centrándonos en conceptos profusamente estudiados para grafos que pueden ampliarse con facilidad a hipergrafos, como son la dominación, el recubrimiento de vértices y el emparejamiento, así como la relación entre ellos. De este modo, extendemos resultados previos de [10, 12].
Resultados de regularidad máxima para problemas elípticos y parabólicos
(2024-07-19) Oitabén Santos, Teresa; González Burgos, Manuel
El objetivo de esta memoria es recopilar los resultados de regularidad máxima en problemas elípticos y parabólicos. El estudio se enfoca en problemas formados por un operador lineal en forma general con condiciones frontera de tipo Dirichlet. Para ello, los espacios de Hölder y Sobolev revisten gran importancia, ya que es en estos espacios donde se buscarán los resultados de regularidad hölderiana y regularidad L p , respectivamente. La estrategia empleada en este análisis se basa fundamentalmente en las desigualdades a priori que satisfacen las soluciones, es decir, en las estimaciones de la solución en el supuesto de su existencia. Asimismo, cabe destacar que se ha dividido la regularidad en regularidad interior y regularidad cerca de la frontera, para luego integrar ambas y dar un resultado global.
Complexes of groups
(2024-06-10) Salamero Cebollero, Marina; Cumplido Cabello, María
The aim of this Master’s thesis is to study the properties of groups acting without inversions on cell complexes. Our main concern will be to determine to what extent one can retrieve a presentation of the group from the following data of the action: the orbit space and the stabilizers of the cells. We will mainly work with simplicial complexes, for which the cells can be easily labeled by means of a poset that will encode the inclusions of the corresponding stabilizers. Chapter 1 is an introductory chapter whose purpose is to provide a background and some insight on the most important definitions and results that we will be studying, ranging from basic examples of geometric groups actions to useful notions on non-positively curved spaces. Due to the author’s previous knowledge of Bass-Serre theory of groups acting on trees, which is the 1-dimensional version of the theory we will develop, we include a section which explains these ideas that will help us better understand how their generalization to higher dimensions works. For the rest of the chapters, we will use [3, Chapter II.12] as our main reference. In Chapter 2, we formally introduce the spaces where our groups will be acting, which are called stratified spaces, and which come together with a poset of strata that behaves well under the group action. In Chapter 3, we give plenty of examples for strata preserving actions and give the definition of simple complex of groups that will be the main tool for the last chapter. Even though we restrict our efforts to those actions that admit a strict fundamental domain, we will notice the obstructions that appear in higher dimensions that did not show up in graphs. In the last chapter, we show how one can construct the development of a simple complex of groups that admits a simple morphism which is injective on the local groups, which is a condition that is not always satisfied. We will also give a nice criterion for developability based on the curvature of the underlying complex, and lastly, we will show a recent application [8] of these techniques to a problem on parabolic subgroups of Artin groups.
Polinomio de Alexander y Homología Knot Floer a partir de diagramas de rejilla
(2024-06-13) Regalado García, Pablo; Silvero Casanova, Marithania
La Teoría de nudos es una rama de las matemáticas que centra su estudio en los nudos y enlaces matemáticos. Su origen está ligado al problema de la clasificación de enlaces, siendo los invariantes las herramientas utilizadas para distinguirlos. Este trabajo se centra en dos invariantes de nudos y enlaces: el polinomio de Alexander y su categorificación, la homología knot Floer. Apoyados en la teoría de diagramas de rejilla, se presenta una aproximación combinatoria a ambos invariantes (conocidos como polinomio y homología de rejilla). Se describe la relación entre ambos invariantes y sus propiedades principales, presentando algunos ejemplos con cálculos explícitos.
Paradojas en espacio-tiempos: Un estudio geométrico
(2024-07-14) Misas Arcos, Mario; Carriazo Rubio, Alfonso
El objetivo de este proyecto es la formulación y estudio de algunas de las paradojas más relevantes postuladas en el marco de la relatividad general. Para ello se hará uso de un enfoque puramente cimentado en la geometría semi-Riemanniana, dando a cada problema un tratamiento matemático en lugar de físico. Entre otras, se explorarán tanto los fundamentos como posibles resoluciones a la paradoja de los gemelos, la paradoja de la información o distintos fenómenos paradójicos ligados a escenarios que plantea la relatividad general, como la existencia de agujeros de gusano o espacio-tiempos exóticos.

Examinar

Envíos recientes