Algebra

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On the generalised phase kick-back and its applications
(2024-04-04) Pastor Díaz, Ulises; Ossorio Castillo, Joaquín; Tornero Sánchez, José María; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra; Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada I (ETSII)
La computación cuántica es una rama que ha adquirido creciente relevancia en los últimos tiempos, sobre todo tras el descubrimiento por parte de Peter Shor en los años 90 de un algoritmo para factorizar enteros de forma eficiente. Este resultado, que tiene importantes implicaciones en criptografía, sumado al avance que en los últimos años se ha producido a nivel técnico en el desarrollo de ordenadores cuánticos viables, hace necesario desarrollar nuevos criptosistemas resistentes a las técnicas de computación cuántica. Sin embargo, lo que se sabe sobre las limitaciones y posibilidades que ofrece este modelo de computación es todavía poco. En esta tesis, nos planteamos arrojar algo de luz a esta cuestión, estudiando la generalización de una de las técnicas más elementales y centrales en el desarrollo de algoritmos cuánticos: el phase kick-back. El algoritmo que construimos usando este denominado Generalised Phase Kick-Back, o GPK, permite resolver problemas como las versiones generalizadas de los problemas de Deutsch-Jozsa y Bernstein- Vazirani, pero eso no es todo. Gracias al estudio de su aplicación en la resolución de un nuevo problema que es a su vez una generalización de los dos mencionados anteriormente, el problema FBI, podemos estudiar la relación que esta técnica tiene con las transformadas de Fourier-Hadamard y Walsh, así como con el problema del balanceo. Además, se expone una resolución del problema de Simon que, empleando esta técnica, mejora la que ofrece el algoritmo de Simon, tanto en la versión habitual como en la generalizada.
On homotopical algebra and quantum field theories
(2023-07-21) Carmona Sánchez, Víctor; Flores Díaz, Ramón Jesús; Muro Jiménez, Fernando; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra; Universidad de Sevilla. Departamento de Geometría y Topología;
Esta memoria está dedicada al estudio de la teoría de homotopía de álgebras operádicas y sus aplicaciones en teoría cuántica de campos (qft por sus siglas en inglés). Para ello, por un lado se desarrollan herramientas pertenecientes a la teoría de homotopía abstracta y herramientas en el ámbito de las opéradas y sus álgebras. Por otro, se utilizan estas y otras técnicas para estudiar la teoría de homotopía de dos implementaciones matemáticas de las qfts: las álgebras de factorización y las teorías cuánticas de campos algebraicas (aqfts por sus siglas en inglés). En el marco del álgebra homotópica, se prueban nuevos teoremas de localización de Bousfield para estructuras de semimodelos, dando a su vez aplicaciones en otras áreas de las matemáticas como el álgebra homológica y la topología algebraica. Se estudian también dos construcciones fundamentales en teoría de opéradas: la envolvente operádica de un álgebra y la localización derivada de opéradas. En dichos estudios, se obtienen resultados originales sobre propiedades homotópicas de dichas construcciones y numerosas aplicaciones de las mismas. En cuanto a teoría cuántica de campos y gracias a los resultados antes mencionados, se construyen estructuras de (semi)modelos presentando varias teorías de homotopía asociadas a las álgebras de factorización y a las aqfts. Se establecen varias interconexiones entre estas categorías de (semi)modelos, demostrando por ejemplo que la homología de factorización con contexto determina completamenta a las álgebras de factorización localmente constantes o que el axioma de la rebanada temporal de las aqfts tiene que ser relajado homotópicamente para estudiar teorías gauge en general. Adicionalmente, se estudia la renormalización de las álgebras de factorización localmente constantes, dando lugar a técnicas de discretización para teorías de campos topológicas, y se analiza cuándo se puede estrictificar el axioma de la rebanada temporal para aqfts si se consideran contextos relativistas, es decir, lorentzianos.
Categorías de descenso simplicial
(2007-12-19) Rodríguez González, Beatriz; Narváez Macarro, Luis; Navarro Aznar, Vicente; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Estudio de dos invariantes en álgebras de Lie filiformes complejas y clasificación a partir de estos
(1995-05) Ramírez López, Francisco; Echarte Reula, Francisco Javier; Núñez Valdés, Juan; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
• En las álgebras de lie filiformes complejas se estudian de manera detallada los subíndices definidos por: i = , que es equivalente a i = inf es conmutativo), que es equivalente a j = inf , dos invariantes respecto de bases adaptadas, y se prueban algunas de sus propiedades, demostramos que toda algebra de lie filiforme compleja no modelo, tiene un producto principal, demostramos que: 4 , también demostramos que un algebra de lie filiforme compleja está definida si se conocen los productos ( ) ( ) e introducimos el concepto de algebras cortadas para probar que ciertas algebras no son isomorfas entre sí. Estos invariantes van a permitirnos realizar la clasificación de las algebras de lie filiformes complejas atendiendo a la terna (i, j, n), donde i, j son los invariantes mencionados y n la dimensión del algebra.
Aspectos diofánticos y computacionales de la torsión racional en curvas elípticas
(2006-12-13) García Selfa, Irene; Tornero Sánchez, José María; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Quantum álgorithms for the combinatorial invariants of numerical semigroups
(2019) Ossorio Castillo, Joaquín; Tornero Sánchez, José María; Universidad de Sevilla. Departamento de álgebra
It was back in spring 2014 when the author of this doctoral dissertation was finishing its master thesis, whose main objective was the understanding of Peter W. Shor’s most praised result, a quantum algorithm capable of factoring integers in polynomial time. During the development of this master thesis, me and my yet-tobe doctoral advisor studied the main aspects of quantum computing from a purely algebraic perspective. This research eventually evolved into a sufficiently thorough canvas capable of explaining the main aspects and features of the mentioned algorithm from within an undergraduate context. Just after its conclusion, we seated down and elaborated a research plan for a future Ph.D. thesis, which would expectantly involve quantum computing but also a branch of algebra whose apparently innocent definitions hide some really hard problems from a computational perspective: the theory of numerical semigroups. As will be seen later, the definition of numerical semigroup does not involve sophisticated knowledge from any somewhat obscure and distant branch of the tree of mathematics. Nonetheless, a number of combinatorial problems associated with these numerical semigroups are extremely hard to solve, even when the size of the input is relatively small. Some examples of these problems are the calculations of the Frobenius number, the Apéry set, and the Sylvester denumerant, all of them bearing the name of legendary mathematicians. This thesis is the result of our multiple attempts to tackle those combinatorial problems with the help of a hypothetical quantum computer. First, Chapter 2 is devoted to numerical semigroups and computational complexity theory, and is divided into three sections. In Section 2.1, we give the formal definition of a numerical semigroup, along with a description of the main problems involved with them. In Section 2.2, we sketch the fundamental concepts of complexity theory, in order to understand the true significance within the inherent hardness concealed in the resolution of those problems. Finally, in Section 2.3 we prove the computational complexity of the problems we aim to solve. Chapter 3 is the result of our outline of the theory of quantum computing. We give the basic definitions and concepts needed for understanding the particular place that quantum computers occupy in the world of Turing machines, and also the main elements that compose this particular model of computation: quantum bits and quantum entanglement. We also explain the two most common models of quantum computation, namely quantum circuits and adiabatic quantum computers. For all of them we give mathematical definitions, but always having in mind the physical experiments from which they stemmed. Chapter 4 is also about quantum computing, but from an algorithmical perspective. We present the most important quantum algorithms to date in a standardized way, explaining their context, their impact and consequences, while giving a mathematical proof of their correctness and worked-out examples. We begin with the early algorithms of Deutsch, Deutsch-Jozsa, and Simon, and then proceed to explain their importance in the dawn of quantum computation. Then, we describe the major landmarks: Shor’s factoring, Grover’s search, and quantum counting. Chapter 5 is the culmination of all previously explained concepts, as it includes the description of various quantum algorithms capable of solving the main problems inside the branch of numerical semigrops. We present quantum circuit algorithms for the Sylvester denumerant and the numerical semigroup membership, and adiabatic quantum algorithms for the Ap´ery Set and the Frobenius problem. We also describe a C++ library called numsem, specially developed within the context of this doctoral thesis and which helps us to study the computational hardness of all previously explained problems from a classical perspective. This thesis is intended to be autoconclusive at least in the main branches of mathematics in which it is supported; that is to say numerical semigroups, computational complexity theory, and quantum computation. Nevertheless, for the majority of concepts explained here we give references for the interested reader that wants to delve more into them.
Leaps of the chain of m-integrable derivations in the sense of Hasse-Schmidt
(2019-05-02) Tirado Hernández, María de la Paz; Narváez Macarro, Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Sea k un anillo conmutativo. Los módulos de las k-derivaciones m-integrables (en el sentido de Hasse-Schmidt) de una k-_algebra conmutativa forman una cadena decreciente cuyas inclusiones pueden ser estrictas. Decimos que un entero s > 1 es un leap de una k-algebra conmutativa si las 1-_esima inclusión en la cadena anterior es propia. En esta tesis, estudiamos el conjunto que forman los saltos en diferentes contextos. En primer lugar, consideramos k un anillo de característica positiva y probamos que los saltos de cualquier k-algebra conmutativa sólo ocurren en las potencias de la característica. Luego, nos centramos en estudiar el comportamiento de los módulos de las k-derivaciones m-integrables de una k-algebra conmutativamente generada bajo cambios de base y probamos que si consideramos extensiones de cuerpos trascendentes puras y k-_algebras conmutativamente presentadas, entonces el conjunto de los saltos no cambia bajo el cambio de base. Lo mismo ocurre si consideramos extensiones separables de anillos sobre un cuerpo de característica positiva y k-_algebras conmutativamente generadas. Por _ultimo calculamos el módulo de las k-derivaciones m-integrables en diferentes curvas planas. Principalmente, damos los generadores de los módulos de las k-derivaciones m- integrables, donde k es un anillo reducido de característica p, del cociente del anillo de polinomios en dos variables con coeficientes en k sobre un ideal generado por la ecuación xn yq donde n o q no es múltiplo de p.
Sous-groupes paraboliques et généricité dans les groupes d'Artin-Tits de type sphérique.
(2018-09-03) Cumplido Cabello, María; González-Meneses López, Juan; Wiest, Bertold; Universidad de Sevilla. Departamento de álgebra
En la primera parte de esta tesis estudiamos la conjetura de genericidad: En el grafo de Cayley del mapping class group de una superficie cerrada, consideramos una bola de radio suficientemente grande centrada en el elemento identidad, y miramos la proporción de elementos pseudo-Anosov dentro de esta bola. La conjetura de genericidad nos dice que esta proporción debe tender a une cuando el radio de la bola tiende a infinito. Probamos que esta proporción es mayor que cero y probamos resultados similares para subgrupos del mapping class group. También presentamos resultados análogos para grupos de Artin-Tits de tipo esférico, en cuyo caso ser pseudo-Anosov se corresponde con ser un elemento que actúa loxodrómicamente. En la segunda parte damos nuevos resultados sobre subgrupos parabólicos de los grupos de Artin-Tits de tipo esférico: El estandarizador minimal de una curva en el disco agujereado es la mínima trenza positiva que la transforma en una curva redonda. Construimos un algoritmo para calcular este elemento de una manera geométrica. Después generalizamos este problema a los subgrupos parabólicos de los grupos de Artin-Tits de tipo esférico. También demostramos que la intersección de dos subgrupos parabólicos es un subgrupo parabólico y que el conjunto de subgrupos parabólicos forma un retículo con respecto a la inclusión. Finalmente, definimos el complejo simplicial de los subgrupos parabólicos irreducibles y lo proponemos como análogo al complejo de curvas utilizado para los mapping class groups.
Teorema de división para los operadores diferenciales y cálculo de multiplicidades de D-Modulos
(1984-10-31) Castro Jiménez, Francisco Jesús; Vicente Córdoba, José Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de álgebra
En el capítulo preliminar (Capítulo 0) se estudia la relación entre un módulo filtrado y el módulo graduado asociado y se definen diferentes filtraciones sobre el anillo de los operadores diferenciales. El capítulo 1 está dedicado al teorema de división en el caso “conmutativo”. En el Capítulo 2 se define el exponente privilegiado de un operador, se demuestra el teorema de división en el anillo de los operadores diferenciales (utilizando el teorema de división en el caso conmutativo), se definen las bases de división y se estudia la relación entre una base de división de un ideal I de D0 y una base de división del ideal graduado asociado a I (Cf. 2.2.11). El Capítulo 3 contiene los cálculos explícitos en el anillo D0. Se dan algoritmos para construir una base de división de un submódulo de un módulo libre y una resolución libre de un módulo de tipo finito. En el capítulo 4 se tratan las multiplicidades de los D-módulos. Se da un algoritmo para calcular la multiplicidad de un módulo de la forma D0/I en un punto del espacio cotangente. En el caso particular de que la variedad característica de D0/I sea un divisor con cruzamientos normales, se da un método para calcular las multiplicidades genéricas D0/I en cada componente irreducible de V(D0/I). Finalmente, en 4.5. se dan algunos ejemplos de cálculo de multiplicidades y de resoluciones libres.
Derivaciones de Hasse-Schmidt, cuerpos de coeficientes y extensión de escalares en característica positiva
(2002-03-08) Fernández Lebrón, María Magdalena; Narváez Macarro, Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de álgebra
Una de las diferencias más notables entre el Álgebra de característica positiva y el Álgebra de característica cero radica en el comportamiento respecto de los métodos, operaciones y estructuras diferenciales. Por ejemplo, si k es un cuerpo de característica cero y R = k[[x1,…, xn]] es el anillo de las series formales (o convergentes en el caso en que k sea el cuerpo de los números reales o complejos), k coincide con el conjunto de las series que son anuladas por las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables xi, o más generalmente k = {a ϵ R | ∂i (a) = 0, i = 1,…, n}, donde las ծ1 son unas k-derivaciones de R para las que existen unas series aj ϵ R con ∂1(aj) = бij. Esto se debe a un que dichas ∂1 forman una base del R-módulo de todas las k-derivaciones de R (véase el teorema IVA.2). En particular, el cuerpo de las “constantes” aparece como las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en derivadas parciales particularmente sencillo. De hecho, el teorema de estructura de Cohen nos permite enunciar el resultado anterior para un anillo local completo regular de característica cero R y k c R un cuerpo de coeficientes, con independencia de las coordenadas locales (corolario IV-A.5). los resultados anteriores han de entenderse como una versión parcial y puramente algebraica del Lema de Poincaré. En el caso en que k sea un cuerpo de característica p > 0, el resultado anterior no es cierto, pues todas las series de la forma a(x1,…,xn) = b(x_1^p,…,x_n^p), con b ϵ R, son anuladas por las derivadas parciales respecto de las x1. Para recuperar un resultado análogo al que se tiene en característica cero, es necesario recurrir a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y de infinitas ecuaciones, cuyo tratamiento se simplifica notablemente con la noción de derivación de Hasse-Schmidt [HS37] (ver también [NaK70], [Mat86], [Tra00]). En esta memoria nos ocupamos de estudiar las derivaciones de Hasse-Schmidt, de algunas de sus relaciones con los anillos de operadores diferenciales lineales, y de su uso en la determinación de cuerpos de coeficientes de anillos locales regulares completos de característica positiva. Una de las motivaciones de esta memoria se encuentra en la extensión al caso de un cuerpo base de característica positiva de los resultados del trabajo [Nar91]. El capítulo 1 está dedicado, en primer lugar, a recordar algunos resultados generales para la conveniencia del lector y que serán usados a lo largo de la memoria. Así, recordamos la noción de derivación de Hasse-Schmidt de una k-algebra ([HS37], [NaK70]), como noción puramente algebraica que generaliza la de derivación de un anillo conmutativo. Hemos recopilado algunos resultados de los trabajos [Mat86], [Mat82], [Ish77], [NaK70], y en algunos casos que consideramos oportunos incluimos sus demostraciones. En particular destacamos la relación existente entre las derivaciones de Hasse-Schmidt y el desarrollo de Taylor (cf. [MV69]), cuya filosofía la podemos resumir gráficamente en que, a pesar de las apariencias, “no es necesario dividir por los factoriales”. Recordamos también el concepto de operadores diferenciales lineales sobre una k-álgebra A. La referencia básica utilizada es [GD67], en donde se presenta una definición recursiva, respecto del orden, de los operadores diferenciales lineales. Dicha definición nos muestra directamente su estructura algebraica: se trata de un anillo (para la suma y composición de operadores), filtrado (por el orden de los operadores), no conmutativo en general, cuyo graduado sí es conmutativo. A continuación examinamos la relación entre las derivaciones de Hasse-Schmidt y los operadores diferenciales lineales, así como el caso fundamental de los anillos de polinomios y de series formales. Por último, estudiamos las propiedades de extensión a los completados, a los anillos de polinomios y a los anillos de fracciones. En el capítulo 2, ofrecemos una demostración del lema de normalización para el anillo de series de potencias formales A = k[[X]], con k cuerpo perfecto de característica p > 0, que es una adaptación de la que se encuentra en [Abh64], (23.7) y (24.5). la prueba de loc. cit. usa cambios de coordenadas lineales y necesita que el cuerpo k sea infinito. Nuestra adaptación (teorema II-A.6), es válida para un cuerpo de no lineales como los del lema II-A.4. En el capítulo 3, estudiamos la conservación de la noetherianidad mediante la extensión del cuerpo base k → k(∞) := k(t)per, donde k es un cuerpo perfecto y k(t)per es la clausura perfecta de k(t). Nuestro principal resultado caracteriza cuando el anillo A(∞) := A Ⓧk K(∞) = A Ⓧk kper(t) es noetheriano, y como consecuencia probamos que el anillo A(∞) es noetheriano cuando A es el anillo de series formales en n indeterminadas sobre k (corolario III-C.8). Además, probamos que el mayor subcuerpo perfecto de un cuerpo de funciones formales sobre k, es una extensión finita del cuerpo de constantes k (teorema III-B.8). Una versión más débil del resultado anterior, que dicha extensión es algebraica (proposición III-B.6), es uno de los ingredientes de la prueba de la caracterización de la conservación de la noetherianidad que acabamos de mencionar. En el capítulo 4, determinamos cuerpos de coeficientes del anillo completado de un anillo noetheriano, local, regular, equicaracterístico de característica positiva, mediante una generalización del teorema 99 de [Mat80] al caso de derivaciones de Hasse-Schmidt (teorema IV-A.10). Dicha generalización utiliza, como herramienta fundamental, el teorema IV-A.6, que nos permite generar derivaciones de Hasse-Schmidt a partir de unas fijas, siempre que sus componentes de grado uno formen un sistema de generadores de las k-derivaciones de nuestro anillo. Este último resultado, sugiere un estudio en profundidad de estructuras algebraicas no lineales sobre las derivaciones de Hasse-Schmidt. Por último, en el capítulo 5, generalizamos el teorema 2.3 del trabajo [Nar91] al caso del anillo R = k[[X1,…,Xn]], siendo k un cuerpo perfecto de característica p > 0. Para ello consideramos la extensión de escalares R → R Ⓧk k(t)per = R(∞), donde k(t)per = ⋃_(m≥0)▒〖k (tp 1/m〗) es el cierre perfecto de k(t) y t es trascendente sobre k. Por el capítulo 3, sabemos que R(∞) es un ideal maximal y K es su cuerpo residual, construimos un isomorfismo de Cohen explícito K[[Y1,…Yn]] ≅ ((R(∞))m) ̂ de manera que las extensiones de las k-derivaciones de Hasse-Schmidt de R a este último anillo correspondan a K-derivaciones del primero. Dicho de otra forma, encontramos un cuerpo de coeficientes del anillo local completo ((R(∞))m) ̂, donde se anulan las extensiones de Hasse-Schmidt de R. Es más, dicho cuerpo de coeficientes está formado justamente por aquellos elementos anulados por las citadas extensiones.
D-Módulos algebraicos y cohomología de familias de Dwork
(2014-07-15) Castaño Domínguez, Alberto; Narváez Macarro, Luis; Rojas León, Antonio; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Una familia de Dwork es una deformación monomial uniparamétrica de una hipersuperficie de Fermat. Debido a su conexión con las funciones L de sumas de Kloosterman y la simetría espejo, entre otras aplicaciones, resultaría deseable calcular algebraica y p-´adicamente la parte invariante por la acción de cierto grupo de automorfismos de su cohomología de Gauss-Manin. Como paso previo, en esta tesis se lleva a cabo dicho cálculo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, usando de un modo puramente algebraico aspectos diversos de la teoría de D-módulos, como los formalismos de las seis operaciones de Grothendieck, losD-módulos de Hodge mixtos o la transformada de Fourier, destacando importantes resultados debidos principalmente a Katz sobre D-módulos en dimensión uno e hipergeométricos. Probamos también algunos resultados complementarios; los principales son la presentación de una relación entre los exponentes de un complejo de cohomología de Gauss- Manin y la aciclicidad de un complejo de Koszul, y la existencia de dos sucesiones espectrales de tipo Mayer-Vietoris para la localización de un complejo de D-módulos, finalizando con el cálculo de la cohomología del complemento abierto de un arreglo de hiperplanos arbitrario.
Álgebras de semigrupos y aplicaciones
(2000-06-29) Vigneron Tenorio, Alberto; Pisón Casares, Pilar; Piedra Sánchez, Ramón; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Dado un semigrupo abeliano, cancelativo,finitamente generado y con elemento neutro, S, y un cuerpo k,podemos considerar el álgebra S-graduada k[S]. El estudio de esta álgebra tiene un gran interes dentro de la Geometria Algebraica por su relación con la Geometría Tórica. De hecho, estudiar esta álgebra es equivalente a estudiar las relaciones entre los generadores de ideales definidos por variedades monomiales. Si tenemos un conjunto,{n1,....,nr}, de generadores de S, y consideramos el anillo de polinomios R=k[X1,....,Xr],podemos estudiar la resolución libre de K[S]. En esta memoria nos centramos en el estudio de los módulos de sicigias de esta resolución. En primer lugar estudiamos la estructura de los ideales asociados a semigrupos determinando que, para determinados semigrupos, estos se corresponden con ideales de retículo. Damos algoritmos basados en bases de Gröbner que nos permiten calcular sistemas irreducibles de generadores del ideal de un semigrupo con torsión. Además, damos un método efectivo, basado en el cálculo de N-soluciones de sistemas diofánticos en congruencias, para calcular los grados que aparecen en el primer módulo de sicigias de k[S], ampliando estos resultados a toda la resolución del álgebra k[S]. . De estos métodos, deducimos cotas para los grados que aparecen en un sistema minimal de generadores el i-ésimo modulo de sicigias de k[S], en función solamente de los generadores del semigrupo. Explicitamos además una cota para la regularidad de una variedad tórica, así como un algoritmo para hallar dicha regularidad. Gran parte de nuestros resultados se obtienen a través de un estudio de las estructuras de las soluciones enteras positivas de un sistema diofántico en congruencias. Una vez explicitadas sus estructuras, demos algoritmos basados en bases de Gröbner y en el lema de Dickson para resolver sistemas diofánticos en congruencias sin añadir nuevas variables.
Una extensión de métodos algebraicos a la teoría de modelos
(1983-07-02) Fernández Margarit, Alejandro; Laita de la Rica, Luis María; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
La idea central de este trabajo consiste en la introducción del concepto de cociente en la teoría de modelos. La construcción del cociente en algebra no es directamente generalizables pues hace uso de elementos notables del conjunto. Para vencer esta dificultad se introduce el concepto de M-ideal debido a A. Robinson lo que permite dar una construcción del cociente. Se aplica esta construcción a teorías algebraicas usuales obteniendo resultados paralelos al caso algebraico los cual apoya que nuestra definición de cociente es apropiada. Se estudian los problemas clásicos de la teoría de modelos respecto de la construcción de cociente introducida tales como: Problema de persistencia, Problema de finitud y su relación con otras construcciones de la teoría de modelos.
Ramificación de valoraciones de superficies algebroides
(1981) Herrera Govantes, Francisco Javier; Vicente Córdoba, José Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Se construyen las valoraciones de un cuerpo de funciones heromorfas formales en dos variables y se estudia la ramificación de algunos tipos de ellas. Especial atención se dedica al estudio de las singularidades de superficies cuyo entorno completo está representado por una serie de Puiseux y singularidades casi-ordinarias. Antes de empezar a escribir un resumen del contenido de la presente memoria, debo dejar bien claro un hecho importante y es que éste es un trabajo abierto, en el sentido de que no resuelve un problema hasta sus últimas consecuencias, acabando una teoría hasta dejarla formalmente perfecta. Por supuesto que en esta memoria se resuelven problemas; pero este trabajo no es sino el comienzo de algo, cuyas bases se establecen, que deja ante sí un campo amplio para futuros desarrollos. Se resuelven unos problemas, pero se plantean otros, de forma explícita o implícita, mayores quizás a los aquí resueltos.|
Sistemas holónomos regulares y haces perversos cuyo soporte singular es el germen de una curva plana irreducible
(1984) Narváez Macarro, Luis; Vicente Córdoba, José Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
En esta memoria, damos una descripción explícita de los sistemas holónomos regulares y de los haces perversos (cf. I.3.10 y I.4.2), cuyo soporte singular es el germen de una curva plana irreducible. Se trata de la generalización natural de los resultados de Deligne ([Del 2]) y de Galligo-Granger-Maisonobe ([Ga-Gra-Mais]), sobre la descripción de los haces perversos cuyo soporte singular es el origen en C, y un cruzamiento normal en C, respectivamente. Para ello, utilizamos la teoría de recollement de haces perversos de MacPherson-Deligne-Verdier, y más concretamente, el teorema de extensión bajo la forma de Deligne-Verdier (cf. [Ver 3] y teorema II.2.1). Si f : (C2, 0) (C, 0) es una ecuación local de la curva, dicho resultado reduce el problema al cálculo explícito del complejo de los ciclos próximos Rf(L), de un sistema local L en el complementario de la curva, y de su automorfismo de monodromía M(L) (cf. I.1 para las definiciones de Rf y m).|
Ramificación en k-álgebras y teoremas de ascenso y descenso
(1991) Roanes Lozano, Eugenio; Roanes Macías, Eugenio; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
"En la presente memoria se estudia la ramificación de ideales primos de un subanillo de polinomios, A, sobre un cuerpo, k, de característica cero, al extender a una k-álgebra afín, B, finitamente generada sobre A. los objetivos que nos proponemos sucesivamente en este ... trabajo son cuatro:a) Profundizar en el estudio del orden de ramificación de un ideal primo, introducido en [Roa 4], definiéndolo vía geométrica y caracterizándolo de varios modos.b) Estudiar condiciones de no-ramificación local, que después se aplicarán a determinar condiciones de no-ramificación global para ideales de punto (esto es, para ideales maximales que sean ideales de puntos de la variedad, cuyo anillo de coordenadas es A).c) Adaptar los teoremas de Cohen-Seidemberg (de ascenso y descenso) al caso de extensiones algebraicas, sustituyendo la condición de ser B entero sobre A, por una condición de no-ramificación, para algún ideal de punto que contenga a los ideales de A considerados.d) Determinar criterios de no-ramificación de primos del subanillo de polinomios A, al extender a la k-álgebra B, aprovechando aquellos teoremas de ascenso adaptados (lo cual proporciona criterios para detectar ideales radicales de B).e) Automatizar el cálculo del rango de matrices jacobian, cuyos elementos pertenezcan a una k-álgebra finitamente generada (no necesariamente anillo de polinomios), que permita realizar con comodidad el cálculo efectivo del orden de ramificación, a partir de su implementación en lenguaje Reduce.f) Automatizar un criterio de no-ramificación de ideales primos de un anillo de polinomios en una extensión simple y entera, llegando también a su implementación en Reduce."|
Métodos computacionales en los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales
(2000) Moreno Frías, María Ángeles; Castro Jiménez, Francisco Jesús; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
"La memoria tiene dos partes: La primera está dedicada a la comparación entre los métodos clásicos de Riquier-Janet (para el estudio de los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales) y los métodos modernos del álgebra computacional. Los resultados de Janet tienen la siguiente interpretación homológica: Los sistemas de Janet (y Riquier y otros) tienen grupos Ext(de orden superior a 1, a valores en el anillo de gérmenes de funciones holomorfas) nulos. En la segunda parte se estudian otros métodos efectivos para ciertos anillos de operadores diferenciales."|
Esquemas del máximo en la aritmética
(1992) Pérez Jiménez, Mario de Jesús; Fernández Margarit, Alejandro; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
El objetivo fundamental de esta memoria es el estudio de unos nuevos esquemas de axiomas, que denominaremos esquemas del máximo, desde los siguientes puntos de vista:1. Relacio nes con los esquemas clásicos de inducción, minimización, colección y colección fuerte, para los conjuntos de fórmulas n y n (capítulo 2).2. Aplicaciones de los esquemas del máximo: a) A la obtención de nuevas pruebas de resultados conocidos (Sn+1 In+1, I0(n+1) Ln+1,) (Capítulo 2 y 3). b) Al análisis de una conjetura de Friedman (In+1 Ln+1) (Capítulo 3); c) A la obtención de estructuras maximales n -definibles, es decir, subestructuras propias de B, de U tales que Kn (U; B) = B; que, además, son segmentos iniciales (Capítulo 4); d) Al estudio de la n -definibilidad en Kn (U) (Capítulo 4). e) Para establecer teoremas spliting en ciertos fragmentos de la Aritmética (Capítulo 5). La introducción de estos esquemas tiene por finalidad analizar el comportamiento del crecimiento de funciones definibles (recordemos que en I0, toda función definible está acotada por un polinomio y, por tanto, la función exponencial no es definible).|
Construcción explícita de valoraciones discretas de rango 1
(1986) Briales Morales, Emilio; Vicente Córdoba, José Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
Cálculos efectivos con valoraciones ramificación
(1999) Olalla Acosta, Miguel Ángel; Vicente Córdoba, José Luis; Universidad de Sevilla. Departamento de Álgebra
En la presente memoria se estudian las valoraciones discretas de rango 1 sobre un cuerpo de series en n variables con cuerpo base de característica cero. Se da una construcción explicita de un elemento de valor 1 y del cuerpo residual de cada valoración, lo que nos permite dar sus ecuaciones para métricas. Se construyen todas las ampliaciones a una extensión l del cuerpo de series en nn variables calculando el índice de ramificación y el grado relativo de cada una de ellas. En el caso de las valoraciones divisoriales, se prueba que siga la valoración ramifica entonces el elemento irreducible divide al discriminante del polinomio mínimo.|

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