Grado en Matemáticas

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Breve introducción a la topología y combinatoria en teoría de grupos
(2024-07-10) Peña Blanco, Victoria Eugenia; Fernández Lasheras, Francisco Jesús
Combinatorial group theory is a branch of mathematics that studies the algebraic and geometric structure of groups. It emerged with the study of free groups in the 19th century, introduced by mathematicians such as Arthur Cayley and Walther von Dyck. Free groups, generated by elements with no additional non-trivial relations, provide a fundamental basis for understanding concepts like free product and amalgamated product, which allow for combining groups while preserving essential properties. By the mid-20th century, this theory significantly evolved with the development of HNN extensions (Higman-Neumann-Neumann), which expand the possibilities of constructing new groups by introducing additional relations over conjugate subgroups. In this Proyect, we will analyze these concepts and techniques, as well as their relationship with the study of group actions on trees, initiated in the 1960s and leads to the theory of Bass-Serre. La teoría combinatoria de grupos es una rama de las matemáticas que estudia la estructura algebraica y geométrica de los grupos. Surgió con el estudio de grupos libres en el siglo XIX, introducidos por matemáticos como Arthur Cayley y Walther von Dyck. Los grupos libres, generados por elementos sin relaciones no triviales adicionales, proporcionan una base fundamental para entender conceptos como el producto libre y el producto amalgamado, que permiten combinar grupos preservando propiedades esenciales. A mediados del siglo XX, esta teoría evolucionó significativamente con el desarrollo de las HNN extensiones (Higman-Neumann-Neumann), que amplían las posibilidades de construcción de nuevos grupos mediante la introducción de relaciones adicionales sobre subgrupos conjugados. En este Trabajo Fin de Grado analizaremos estos conceptos y técnicas, así como su relación con el estudio de las acciones de grupos sobre árboles, iniciado en la década de 1960, y que culmina con la teoría de Bass-Serre.
Superficies de Riemann
(2024-07-10) Carrasco Yllanes, Víctor; García Vázquez, Juan Carlos
These notes are an introduction to the classic complex analysis object known as Riemann surfaces. The ultimate goal of this dissertation is to state and prove the Riemann Mapping Theorem. This result will allow us to classify simply connected Riemann Surfaces, asserting that every such surface is equivalent to one and only one of the following surfaces: the unit disc, the Riemann sphere or the complex plane. With this aim in mind, first we will define Riemann Surfaces and give some examples. Then we will study differentiable functions over these surfaces as well as some of their properties. We will stop to better understand analytic continutation and we will learn about germs and covering surfaces, giving mayor results about these subjets such as the Monodromy Theorem. Following that, we will dive into the world of subarmonics functions, familiarizing ourselves with Perron families, the Dirichlet problem in Riemann surfaces and Green’s functions. This last part will end with a classification of Riemann surfaces, paving the way for the main result of this work. Then we will finally be able to establish The Riemann Mapping Theorem and give its proof, concluding this dissertation.
Introducción al tratamiento matemático de la mecánica de medios continuos
(2024-07-09) Vega Gallo, Mercedes; Casado Díaz, Juan
The aim of the present work is to serve as an introduction to continuous media mechanics. We focus on the mathematical analysis of the partial differential equation problems that appear in this theory. Specially, we consider the case of elastic solids and incompressible viscous fluids. We show how these problems are modeled from the physical point of view thanks to the classical conservation laws and we prove existence and uniqueness of solution for several classical models. We study the linear elasticity system, the stationary Stokes and Navier-Stokes equations and the evolutionary Navier-Stokes system.
El problema del m-Anillo Estrella Biobjetivo
(2024-06-05) López García, Valentina; Pozo Montaño, Miguel Ángel
El Problema del m-Anillo Estrella Biobjetivo (biobjective multi-Ring Star Problem - bmRSP) busca el menor recorrido que sirve a todos los nodos de un grafo completo G = (V, A) siendo V el conjunto de nodos y A el conjunto de arcos que los conectan. El conjunto V est´a formado por el dep´osito central, los clientes y los nodos de transici´on (que ayudan a mejorar las conexiones entre nodos). El recorrido estar´a formado por m ciclos partiendo del dep´osito central junto con un conjunto de asignaciones que conectan los nodos que no est´an incluidos en los ciclos. Al minimizar el coste de los anillos y el de las asignaciones, llegamos a este problema biobjetivo. Se encuentran aplicaciones del bmRSP en diversos ´ambitos como la log´ıstica, cadenas de distribuci´on, optimizaci´on de rutas y planificaci´on de redes; concretamente, en optimizaci´on de rutas de transporte, redes de telecomunicaciones, sistemas de transporte p´ublico, redes de cadena de suministro y en log´ıstica urbana. Esta memoria aborda las formulaciones de los diferentes problemas que lo preceden y estudia m´etodos de resoluci´on para formulaciones de programaci´on lineal entera mixta del bmRSP. Concluiremos implementando en Python los m´etodos y algoritmos presentados, comparando algunos de ellos y representando las soluciones obtenidas.
Programación matemática y aprendizaje automático
(2024-06-05) Sanz Moreno, Alejandro; Puerto Albandoz, Justo
Estadística multivariante: algunos problemas con la alta dimensionalidad
(2024-07-10) Romero Pavón, Andrés; Muñoz Pichardo, Juan Manuel
El presente trabajo aborda la problemática asociada a la alta dimensionalidad en el ámbito de la estadística multivariante. La investigación se centra en describir y presentar algunas soluciones y estrategias enfocadas a resolver este problema, bien desde el enfoque de la reducción de la dimensión, bien directamente para abordar técnicas de clasificación o predicción, planteando desafíos sustanciales en la inferencia estadística y el análisis de datos. Un problema muy presente en la actualidad al que tiene que enfrentarse la estadística es el análisis de conjuntos de datos de altas dimensiones, especialmente cuando “p ≫ N”, es decir, cuando la dimensión o número de variables es superior al tamaño muestral o número de casos. La alta dimensionalidad presenta obstáculos críticos en la identificación de patrones y la interpretación de relaciones entre variables. En este contexto, se exploran en profundidad las limitaciones de los métodos clásicos de estadística multivariante y se proponen enfoques innovadores para hacer frente a la falta de observaciones en relación con la abundancia de variables. Se examinan técnicas de reducción de dimensionalidad, como el análisis de componentes principales, así como métodos más avanzados como la regularización y la selección de características. Además, se aborda la problemática de la selección de modelos y la mejora de la eficiencia computacional en entornos de alta dimensionalidad. Los resultados de este trabajo proporcionan ideas valiosas para investigadores y profesionales en campos donde la alta dimensionalidad es una característica inherente, como la genómica, la minería de datos y la inteligencia artificial. Se espera que estas contribuciones fomenten el avance en la comprensión y el tratamiento de la alta dimensionalidad en el análisis estadístico multivariante.
La evolución en el estudio de los modelos lineales. El Modelo Lineal Generalizado y los Modelos Mixtos
(2024-06-05) Vicente Muñoz, Raúl; Zafra Garrido, María José
Este proyecto es un trabajo teórico que presenta la evolución natural de ciertos problemas en el campo de la estadística. Supone una continuación del curso de Modelos Lineales y Diseño de Experimentos. No solo estudiaremos resultados y pruebas que no se cubrieron en la sección de Regresión Lineal, sino que también profundizaremos en el Modelo Lineal Generalizado como una extensión natural de la Regresión Lineal. Además, exploraremos a fondo otra forma de extender esta, los Modelos Mixtos. Ambos modelos pueden fusionarse para dar lugar a los Modelos Lineales Mixtos Generalizados. En cuanto a este último, solo discutiremos su funcionalidad, sin profundizar, ya que utiliza las mismas herramientas que los Modelos Mixtos y los Modelos Lineales Generalizados pero con expresiones más extensas y tediosas. Por tanto, no será de gran interés para el proyecto, ya que implicaría repetir cálculos y argumentos ya vistos en otros modelos. Finalmente, veremos cómo podemos aplicar esta potencia teórica en problemas cotidianos.
El legado de Maryam Mirzakhani en la Matemática Discreta
(2024-06-05) Muñoz Méndez, Pedro José; Villar Liñán, María Trinidad
Maryam Mirzakhani (1977 - 2017) fue una matemática iraní y la primera mujer en ganar la Medalla Fields (2014). Destacó en una amplia gama de áreas de las matemáticas, como geometría aritmética, geometría hiperbólica, sistemas dinámicos, geometría algebraica y geometría diferencial, entre otras. En este trabajo nos centraremos en algunas de sus aportaciones a la matemática discreta y cómo han trascendido a lo largo del tiempo. Precisamente, sus dos primeros trabajos publicados se enmarcan dentro de la teoría de grafos. En particular se tratará la descomposición en 5−ciclos de grafos tripartitos completos [18], veremos un ejemplo de un grafo planar no 4−elegible [20], y algunos resultados sobre coloración de Sperner ([22], [23]). Estos últimos, algo más recientes y publicados en los últimos años de su vida, proporcionan resultados aplicables a problemas de optimización combinatoria.
Asociación parcial de variables ordinales
(2024-06-04) García Moreno, Miguel; Muñoz Pichardo, Juan Manuel
Thanks to the central limit theorem, it is very common to study and infiere under the hipothesis of normal continuous variables. This distribution has, generally, good properties, and they are not to be disparaged when attempting to study the partial association between variables of that same type. However, other kind of variables, such ordinal variables, are common in several fields, justifying its study and interest. In this final degree project a workframe along with tools that enable studying partial association between ordinal variables in presence of a set of covariates is presented, based on the work of Liu and otros (2021) and Liu and Zhang (2018). Firstly, in this very chapter previous necessary concepts for the optimal comprehension of the following results are defined. In the second chapter, theoretical queries that base the workframe are put forward. In particular, the surrogate residual will be constructed, which due to its good properties is presented as a adequate tool to treat partial association. In the last chapter, PAsso package Zhu and otros (2021) from Rprogram R Core Team (2022) is brought up, which has been created with the intent of applying what has been developed in the second chapter. With the goal of evidencing its utility, it is applied to real life examples, including their results’ interpretations.
Introducción al aprendizaje automático y al aprendizaje profundo
(2024-07-10) Méndez Corbacho, Ana; Graciani Díaz, Carmen
En la actualidad, la Inteligencia Artificial es una disciplina científica ampliamente utilizada que está transformando diversos sectores. Una de las áreas más destacadas dentro de ella es el Aprendizaje Automático. Este Trabajo de Fin de Grado se centra en él y, en particular, en una de sus subramas de mayor interés actual: el Aprendizaje Profundo, que es especialmente eficaz en la resolución de problemas complejos. Comenzaremos el trabajo explorando diversos tipos dentro del Aprendizaje Automático y proporcionaremos una descripción destacando los algoritmos más utilizados en algunos de ellos. A continuación, nos centraremos en el Aprendizaje Profundo, que se basa en las redes neuronales artificiales, explicando las arquitecturas más comunes. Finalmente, presentaremos una serie de ejemplos para ilustrar el funcionamiento de algunos conceptos y algoritmos explicados a lo largo del trabajo. Estos ejemplos, algunos de los cuales consisten en implementaciones en Python de varios algoritmos y de redes neuronales, ayudarán a visualizar cómo se implementan estas técnicas en situaciones reales.
Dependencia continua y derivable respecto de los datos iniciales y aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales
(2024-07-10) Martínez Canto, Blanca; Caraballo Garrido, Tomás
A Cauchy problem requires an initial data that sometimes cannot be obtained exactly, so the aim is to study the dependence of the solution on the initial data and its application to analyse the Cauchy problem for a first order partial differential equation. That is why throughout the different chapters the dependence on the initial data of a Cauchy problem and its application to first-order partial differential equations will be discussed. This work consists of five chapters. The first of them is a reminder of basic concepts that will be useful throughout the other chapters. In particular, Gronwall’s lemma, a result that will be of great help in proving certain important theorems. The second chapter now enters into the subject itself, in which the continuous dependence of a Cauchy problem on the initial data is studied, where we will also see some results where the dependence is not only on the initial data but also on some parameters that could have this problem. Subsequently, an attempt will be made to provide derivability results with respect to the initial data and with respect to said parameters. Finally, in the last two chapters we will work with first order partial differential equations where the preceding chapters will have a fundamental role and the Method of Characteristics will be carried out. Throughout the chapters you will see examples that can be useful when applying the theorems.
Sumas exponenciales y funciones zeta
(2024-07-10) Rabasco González, Luis María; Beato Caro, Antonio; Rojas León, Antonio
The main goal of this work is the demonstration of Weil’s conjecture in diagonal hypersurfaces. The relevance of the topic that we will deal with goes up to Gauss, who was one of the pioneers of algebraic geometry, passing through many other mathematicians of whom we will talk later. In addition, we will prove other interesting theorems, although not as much as the conjectures. The document is structured into three chapters: In the first chapter we will talk about the paper in which Weil exposed his conjecture to the mathematical world. We will also make a small introduction to these conjecture and Weil’s Zeta function and look at the relationship between the conjectures and the Riemann hypothesis. We will also see the first resolutions of the conjecture and the consequences that they implied. In the second one, we will introduce the multiplicative characters, the Gauss sums and the Jacobi sums, and we will get many properties from these. We will also focus on the Legendre symbol and demonstrate the law of quadratic reciprocity. In fact, we will even see an example of whether a number is a quadratic residue in a finite field or not. Finally we will calculate the number of points that a diagonal hypersurface has in the projective space. In the last chapter we will play a little bit with the Zeta function and get some properties. Furthermore, we will culminate this work with the demonstration of Weil’s conjectures in diagonal hypersurfaces, demonstrate the HasseDavenport relation and demonstrate Gauss’ conjecture in the last entry of his mathematical diary.
El teorema del punto fijo de Brouwer. Su reducción a dimensiones menores o iguales a tres
(2024-07-10) Arriaza Rincón, Manuel; Quintero Toscano, Antonio Rafael
Brouwer’s fixed point theorem is one of the most important results in topology due to its applications and the vast amount of theorems that can be derived from it. In this work, we will use tools from polyhedral topology and homotopy theory to show that this theorem can be deduced by proving just the 1 and 2 dimensional cases, which we will prove separately
Problemas de Elasticidad: Análisis Teórico y Numérico y Aplicaciones
(2024-06-05) González Martínez, Manuel; Fernández Cara, Enrique
En este trabajo analizaremos algunos problemas de Elasticidad. Veremos varios resultados te´oricos y c´omo aplicarlos, y daremos ejemplos sobre estos problemas. Adem´as, estudiaremos algunos m´etodos de aproximaci´on num´erica de soluci´on y los usaremos para resolver experiencias num´ericas. En primer lugar, veremos dos resultados claves para probar la existencia y unicidad de soluci´on de sistemas de Elasticidad Lineal. En esta primera parte haremos tambi´en un breve repaso de los espacios de Sobolev y aplicaremos estos dos teoremas a distintos problemas. Tras esto, hablaremos sobre el problema de Elasticidad Lineal de evoluci´on con diferentes condiciones de contorno y sobre la soluci´on estacionaria del sistema de Lam´e, es decir, la soluci´on correspondiente a las peque˜nas deformaciones de un s´olido el´astico homog´eneo e is´otropo independientes del tiempo. Veremos tambi´en c´omo dar una aproximaci´on num´erica de la soluci´on mediante el m´etodo de los elementos finitos. Posteriormente, trataremos brevemente un problema estacionario de Elasticidad no Lineal (cuando los datos son peque˜nos) y el caso particular que corresponde a materiales hiperel´asticos policonvexos. Por ´ultimo, presentaremos algunas experiencias num´ericas.
Juego de Voronoi Manhattan
(2024-07-10) Vallejo Hermosilla, Luis; Alegre Rueda, Pablo Sebastián
El presente trabajo tiene como objetivo el análisis del artículo [4] sobre el Juego de Voronoi a una ronda con la distancia Manhattan, a fin de esclarecer y complementar los contenidos que en él se tratan. En esta variante del juego, dos jugadores compiten en una región R rectangular de altura 1 y base ρ, donde primero colocan n puntos cada uno y, posteriormente, se traza el diagrama de Voronoi (usando la distancia Manhattan) de los puntos, consiguiendo cada jugador el área que sumen los polígonos de Voronoi correspondientes a sus puntos. Se estudiarán, en primer lugar, las llamadas configuraciones de puntos balanceadas, las cuales son disposiciones de puntos para las que las celdas de sus diagramas de Voronoi cumplen ciertas propiedades geométricas. Tras ello, se expondrá la anterior mencionada variante del Juego de Voronoi, detallando las posibles estrategias ganadoras que poseen ambos jugadores. Se concluirá que el primer jugador posee una estrategia ganadora si y solo si ρ ≥ n y juega una disposición de puntos determinada, ganando el segundo jugador cuando ρ < n.
Introducción a la teoría de valoraciones
(2024-06-05) Velasco Ballesta, Lola; Olalla Acosta, Miguel Ángel
This project starts with an introduction of classical theory of valuations. Followed by a construction of augmented values which will establish inductive valuations and key polynomials. This concepts then will be used to address the Schönemann-Eisenstein irreducibility criteria as well as other criteria that will allow for finding irreducibility polynomials.
Ecuaciones diferenciales sobre redes. Aplicaciones
(2024-07-10) Lara Medina, Francisco de Paula; Suárez Fernández, Antonio; Valenzuela Tripodoro, Juan Carlos
The main goal of this work is to analyse coupled systems of ordinary differential equations on networks, that is, where the coupling is described by a graph. The aim is to give conditions on the networks, and on the different parameters appearing in the equations, in order to be able to infer the existence of a globally stable equilibrium for the complete system. For this we have mainly followed the work [14]. At each vertex of the graph there is odes system with its own dynamics, and the interaction between vertices is represented by edges. This interaction can be nonlinear and dependent on the variables of both vertices. The main objective will be to construct global Lyapunov functions that depend on both the variables and the properties of the graphs. The existence of such a function will in many cases imply the existence of a globally stable equilibrium. This general result will be applied to different concrete problems: oscillators, population dynamics and epidemic problems.
Tests probabilísticos de primalidad
(2024-06-05) Bujosa Moya, Júlia; Tornero Sánchez, José María
La idea de este trabajo es determinar la primalidad de un n´umero a partir de tests que buscan ganar eficiencia arriesgando eficacia. Pese a que suelen usarse como sin´onimos, la eficiencia hace referencia a utilizar algoritmos con un menor coste computacional, sin embargo, la eficacia hace referencia a un resultado m´as correcto y preciso sin tener en cuenta los recursos usados. Realmente este trabajo presenta tests que buscan un equilibrio de ambas, al que podemos llamar efectividad. La manera de trabajar de estos tests es tratar de verificar ciertas propiedades que sabemos que cumplen los n´umeros primos. Y es en la definici´on de estas propiedades donde aparecen los distintos tipos de pseudoprimos, n´umeros compuestos jugando a ser primos, es decir, n´umeros que tambi´en cumplen las propiedades testadas. En el primer cap´ıtulo damos unas primeras nociones que combinadas con algunos resultados generales ser´an herramientas base para construir los tests que iremos presentando a posteriori. A lo largo del segundo cap´ıtulo, introducimos el primer test probabil´ıstico, el Test de Fermat, basado propiamente en el Peque˜no Teorema de Fermat. Con ´el aparece por primera vez una familia de pseudoprimos. Precisamente su existencia hace que este test no sea lo eficaz que se desea y motiva la b´usqueda de propiedades y tests alternativos. Adem´as, este primer tipo de pseudoprimos, y su versi´on fuerte, llamados n´umeros de Carmichael, toman un papel hist´oricamente muy importante en la b´usqueda de tests de primalidad por lo que dedicamos una secci´on para su estudio. En el tercer cap´ıtulo exponemos el test probabil´ıstico de Solovay–Strassen, basado en el Teorema de Euler, dando pie a los pseudoprimos de Euler. Para la implementaci´on del test se introducen los s´ımbolos de Legendre y Jacobi. Este ´ultimo no necesita factorizaciones para ser calculado y dada su importancia en la eficacia del test, se introduce una secci´on profundizando en el c´alculo efectivo del mismo. Siguiendo el orden cronol´ogico, en el cuarto cap´ıtulo introducimos un test probabil´ıstico que super´o en efectividad al de Solovay–Strassen, el test de Miller Rabin, basado en una propiedad curiosa de los primos que cumplen tambi´en los llamados pseudoprimos fuertes. Siguiendo la intuici´on que nos acompa˜na durante el trabajo, estos n´umeros son a´un menos frecuentes que los pseudoprimos de Euler, lo que hace tener a nuestro ´ultimo test menor probabilidad de error que todos los tests estudiados antes. Por ´ultimo, se presentan los pseudoprimos de Lucas respectivos a un par de par´ametros tal que haciendo una buena elecci´on de estos, parecen no solaparse con los dem´as pseudoprimos vistos (problema que sigue abierto). De aqu´ı nace el ´ultimo test descrito en esta memoria, que recibe el nombre de Baillie-PSW, y el cual resulta infalible por el momento, aunque su correcci´on depende de una conjetura.
Análisis de imágenes de teledetección: tratamiento y corrección de los datos
(2024-07-09) Fuente Milanés, Juan Carlos de la; Pino Mejías, Rafael
Análisis Formal de Conceptos y Aplicaciones a la Geometría Computacional
(2024-07-10) Benjumea Bellott, José Constantino; Sancho Caparrini, Fernando
This is a self-contained Bachelor’s Thesis (TFG) that presents an introduction to Formal Concept Analysis and its application for studying geometric objects such as curves and surfaces using an algorithm proposed by Jaime De Miguel and Fernando Sancho Caparrini [34]. This thesis is accompanied by an add-on for Blender[5], to apply the method explained in the thesis, as well as an experimentation conducted with it.

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