Grado en Matemáticas

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Introducción a los Espacios de Hilbert de núcleos reproductores y aplicaciones
(2025-06-04) Mesa Muñoz, Jesús; Álvarez Nodarse, Renato; Análisis Matemático
This work explores the foundations of Reproducing Kernel Hilbert Spaces and their applications. The first part, consisting of the three initial chapters, is dedicated to the study of the fundamental properties and characterizations of these spaces, including their connection with integral operators. The second part, consisting of chapters 4 and 5, is devoted to the applications of Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS). In chapter 4, we examine how RKHS relate to Probability Theory as well as to stochastic processes. Finally, in chapter 5 we explore how RKHS are applied in statistics and machine learning, leading to the generalization of learning algorithms to nonlinear problems through the use of the kernel trick.
Noción discreta de la curvatura de Ricci-Ollivier
(2025-06-04) Fernández Balbuena, Pablo; Fernández Ternero, Desamparados; Villar Liñán, María Trinidad; Geometría y Topología
En esta memoria estudiaremos el concepto de curvatura de Ricci-Ollivier sobre grafos simples, conexos y localmente finitos, tanto no ponderados como ponderados, y probaremos algunos resultados consistentes en cotas inferiores y superiores para dicha curvatura, que llegan a alcanzarse en grafos particulares como los grafos completos o los árboles. Por otro lado, será objeto de estudio el operador laplaciano para un grafo G, definido sobre el espacio de funciones L 2 (G), junto con algunas de sus propiedades más relevantes. Asimismo, abordaremos la noción de desigualdad de curvatura-dimensión que verifica dicho operador, y demostraremos varias desigualdades destacables de este tipo.
El problema de los momentos de Hamburger
(2025-06-03) Galán Valiente, Luis; Álvarez Nodarse, Renato; Análisis Matemático
The study of the Hamburger moment problem will be addressed through operator theory in Hilbert spaces. The first three chapters will provide a foundation for this study. Chapter 1 will deal with the problem of self-adjoint extensions of an operator. Chapter 2 will focus on proving the spectral representation theorem for self-adjoint operators. Chapter 3 considers real sequences through algebra to facilitate their later study. Subsequently, chapters 4 and 5 will provide an answer to the problem. Chapter 4 will examine Jacobi operators and orthogonal polynomials, two mathematical entities closely related to the moment problem. Chapter 5 brings together all the material studied to address the existence and determination (uniqueness) of the problem, as well as its relation to Jacobi operators and orthogonal polynomials. Finally, chapter 6 presents the conclusions of the study
Gestión de inventarios en ambientes estocásticos
(2025-07-09) Romero Marín, Eliseo; Beato Moreno, Antonio; Estadística e Investigación Operativa
La gestión de inventarios es una de las áreas más importantes en la organización empresarial, ya que influye directamente en los costes, la eficiencia, y la capacidad de dar respuesta a la demanda. Pese a la existencia de modelos clásicos que resuelven este problema en entornos deterministas, la realidad impone condiciones más complejas, donde factores como la demanda o los tiempos de reposición pueden ser inciertos. Este Trabajo de Fin de Grado se centra precisamente en el análisis y aplicación de modelos que permiten tomar decisiones óptimas en estos ambientes estocásticos. El contenido se organiza en cinco capítulos. El primero está dedicado a revisar brevemente la evolución histórica de los modelos de inventario, introducir los conceptos más importantes y presentar el problema. También se expone el modelo determinista clásico como punto de partida. El segundo capítulo se adentra en los modelos estáticos, también conocidos como de un solo período, que son apropiados cuando la decisión de reposición se toma una sola vez y no existe la posibilidad de reutilizar el inventario sobrante. En el tercer capítulo se amplía el enfoque para tratar modelos dinámicos, donde las decisiones se toman en múltiples etapas y el inventario restante al final de un periodo se transfiere al siguiente. Se analizan dos tipos de revisión: continua y periódica, y se introducen técnicas de programación dinámica para hallar las políticas óptimas en estos casos. El cuarto capítulo pretende conectar la teoría desarrollada en el trabajo con un caso práctico. Para ello, se analizan datos reales de ventas de servilletas en un supermercado y se escoge, de entre los modelos explicados, el que mejor se ajusta a la casuística del supermercado. Todo esto con el objetivo de determinar una política óptima de inventario a lo largo de ocho periodos. Durante el capítulo haremos uso de herramientas de Python para realizar cálculos, trabajar con los datos, aplicar las políticas y hallar estimaciones. Finalmente, en el quinto capítulo se expone, aunque de manera breve, una reflexión personal sobre el trabajo y un resumen de los aprendizajes obtenidos en el proceso. Asimismo, se comentan algunas dificultades encontradas y se destacan los aspectos del estudio más aplicables a contextos reales de toma de decisiones bajo incertidumbre.
Cubrimientos universales y el Teorema de Picard
(2025-07-09) Díaz González, Cristina; Rodríguez Piazza, Luis; Análisis Matemático
This project is a presentation of how Covering Spaces can be used to prove the Picard’s Little and Great Theorems. Firstly, I present continuations of holomorphic functions. I discuss The Schwarz Reflection Principle, analytic continuation along a curve, and continuity to the Boundary of the conformal mappings. Secondly, I develop the result of Covering Spaces and their remarkable Existence and Uniqueness Theorem, fixed a point, of factorization of an analytic function through an analytic covering space, which sets the foundation for the argument developed in the following chapters. I focus on the modular transformations, the so-called modular group and the modular function, which is one that is invariant under the action of some nontrivial subgroup of the modular group. With the modular function and the theory of Covering Spaces, I can prove the Picard’s Little Theorem in an elegant and simple way. Subsequently, I approach the theory of normal families and one of the most farreaching results: the Fundamental Normality Test (FNT) (Critère fondamental) of Montel, from which flows the Picard’s Great Theorem. I conclude the project with the connection between the Picard’s Little and Great Theorems.
Las Matemáticas de la Teoría general de la Relatividad
(2025-07-09) Paz Vélez, María Isabel de; Alegre Rueda, Pablo Sebastián; Álvarez Nodarse, Renato; Geometría y Topología
En este Trabajo de Fin de Grado se estudiará la Teoría general de tensores y su aplicación a la Teoría general de la relatividad. El documento se estructura en cinco capítulos. En el primero motivaremos el estudio y desarrollo del trabajo. En el segundo capítulo veremos el caso más sencillo de tensores, que son los tensores cartesianos rectangulares. En el tercer capítulo generalizaremos el concepto de tensor e introduciremos el álgebra de tensores y el concepto de tensor métrico. En el cuarto capítulo se extenderán los conceptos que ya conocemos de la geometría euclídea a los tensores del tercer capítulo, a partir de lo cual deduciremos la expresión del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel. Por último, en el quinto capítulo, veremos la aplicación de todo lo anterior a la Teoría general de la relatividad, llegando a la ecuación de la ley de gravitación de Einstein.
El Teorema de Stone-Weierstrass
(2025-06-04) Vázquez Gracia, Álvaro; Jiménez Gómez, Carlos Hugo; Villa Caro, Rafael; Análisis Matemático
El objetivo de este trabajo es estudiar el teorema de Stone-Weierstrass y otras versiones del mismo. Para ello empezaremos con la introducción de herramientas matemáticas y otras definiciones necesarias para afrontar los resultados y demostraciones a lo largo del trabajo. Tras eso veremos la versión clásica del teorema junto con una versión menos general. Por último, generalizaremos el teorema en distintas direcciones y veremos algunas aplicaciones.
Modelos matemáticos de prescripción
(2025-06-04) Sánchez Guerrero, Virginia; Carrizosa Priego, Emilio José; Estadística e Investigación Operativa
This Bachelor’s Thesis focuses on causal inference and its applications, highlighting the distinction between correlation and causality—two concepts that are often confused due to the presence of confounding variables. By establishing a set of assumptions, the model aims to mitigate the impact of such variables, allowing for a more accurate estimation of treatment effects. The core challenge addressed is the fundamental problem of causal inference: the impossibility of observing causal effects at the individual level, since counterfactual outcomes are unobservable. This limitation complicates the application of machine learning techniques, such as regression trees, which typically rely on fully observed data. To overcome this, we explore the CART methodology and its adaptation into the "honest"model developed by Susan Athey and Guido Imbens. We compare this model to traditional approaches, analyzing its advantages and limitations. Through numerical simulations using the causalTree package, we assess the performance of both honest and conventional trees in estimating treatment effects. Statistical tests are conducted to validate model assumptions and evaluate treatment effectiveness. The study concludes with a comparison of the two models based on assignment behavior and prediction error on new data.
Reducción de la dimensionalidad de datos mediante Representaciones de Quivers
(2025-06-04) Ruiz Mazo, Fernando; Fernández Ternero, Desamparados; Geometría y Topología
This memory examines the work of Sumray, Harrington and Nanda (2024) on “Quiver Laplacians and Feature Selection”. It summarizes the Linear Dimensionality Reductor framework, which unifies classical linear reduction methods such as PCA and featureselection techniques like LASSO within a quiver-based Hilbert space representation, and explains how quiver representations organize relationships among data subsets and recast feature selection as the problem of finding global sections of that representation. The memory then describes the Quiver Laplacian operator and shows how its spectral analysis yields bounds on approximation error of relevant features for different subpopulations, before evaluating the proposed quiver-reduction operations and demonstrating how quiver structures can be simplified while preserving spectral guarantees and interpretability. In addition, the review offers several new insights and illustrative examples to highlight practical applications of the framework. By offering a critical perspective on these contributions, the review provides a coherent overview of both the theoretical foundations and computational applications of quiver-based dimensionality reduction and feature selection.
Modelos lineales de efectos mixtos. Librerías R
(2025-06-02) Ruiz Martín, Cristina; Pino Mejías, Rafael; Estadística e Investigación Operativa
Este Trabajo de Fin de Grado aborda el estudio teorico y pr ´ actico de los Modelos Lineales ´ de Efectos Mixtos. Se describe detalladamente el modelo clasico y el modelo extendido, formu- ´ lados rigurosamente desde el punto de vista matematico. Se incluyen tambi ´ en las estimaciones ´ de sus parametros por distintos m ´ etodos, y tambi ´ en m ´ etodos de diagn ´ ostico e inferencia. ´ En cuanto a la parte practica del trabajo, usaremos ´ R, con librer´ıas como lme4 y nlme, para poner en practica el modelo lineal de efectos mixtos aplicado a un estudio real sobre la agudeza ´ visual en pacientes con degeneracion macular. Es muy importante tener en cuenta las diferencias ´ entre los individuos dentro de un mismo grupo y entre grupos diferentes, para obtener resultados fiables.
Gestión de inventarios en ambientes estocásticos
(2025-07-09) Romero Marín, Eliseo; Beato Moreno, Antonio; Estadística e Investigación Operativa
La gestión de inventarios es una de las áreas más importantes en la organización empresarial, ya que influye directamente en los costes, la eficiencia, y la capacidad de dar respuesta a la demanda. Pese a la existencia de modelos clásicos que resuelven este problema en entornos deterministas, la realidad impone condiciones más complejas, donde factores como la demanda o los tiempos de reposición pueden ser inciertos. Este Trabajo de Fin de Grado se centra precisamente en el análisis y aplicación de modelos que permiten tomar decisiones óptimas en estos ambientes estocásticos. El contenido se organiza en cinco capítulos. El primero está dedicado a revisar brevemente la evolución histórica de los modelos de inventario, introducir los conceptos más importantes y presentar el problema. También se expone el modelo determinista clásico como punto de partida. El segundo capítulo se adentra en los modelos estáticos, también conocidos como de un solo período, que son apropiados cuando la decisión de reposición se toma una sola vez y no existe la posibilidad de reutilizar el inventario sobrante. En el tercer capítulo se amplía el enfoque para tratar modelos dinámicos, donde las decisiones se toman en múltiples etapas y el inventario restante al final de un periodo se transfiere al siguiente. Se analizan dos tipos de revisión: continua y periódica, y se introducen técnicas de programación dinámica para hallar las políticas óptimas en estos casos. El cuarto capítulo pretende conectar la teoría desarrollada en el trabajo con un caso práctico. Para ello, se analizan datos reales de ventas de servilletas en un supermercado y se escoge, de entre los modelos explicados, el que mejor se ajusta a la casuística del supermercado. Todo esto con el objetivo de determinar una política óptima de inventario a lo largo de ocho periodos. Durante el capítulo haremos uso de herramientas de Python para realizar cálculos, trabajar con los datos, aplicar las políticas y hallar estimaciones. Finalmente, en el quinto capítulo se expone, aunque de manera breve, una reflexión personal sobre el trabajo y un resumen de los aprendizajes obtenidos en el proceso. Asimismo, se comentan algunas dificultades encontradas y se destacan los aspectos del estudio más aplicables a contextos reales de toma de decisiones bajo incertidumbre.
Los orígenes del Teorema de Carleson
(2025-06-03) Rodríguez Hurtado, Pablo; Curbera Costello, Guillermo; Análisis Matemático
Este trabajo propone un recorrido desde la aparición de las series de Fourier hasta la demostración del teorema de Carleson, destacando las ideas centrales y los avances que marcaron este camino. El desarrollo comienza en el siglo XIX, cuando Fourier introduce la representación de funciones mediante series trigonométricas, y se extiende a través de los esfuerzos de matemáticos como Dirichlet, Riemann y Fejér por entender bajo qué condiciones estas series convergen. El foco central es la conjetura de Luzin, formulada hacia 1913, que preguntaba si la serie de Fourier de toda función en L 2 converge casi por todas partes. Durante cerca de cincuenta años esta conjetura permaneció abierta, resistiendo los métodos conocidos y convirtiéndose en uno de los problemas fundamentales del análisis armónico. La demostración de Lennart Carleson en 1966 no solo resolvió esta cuestión, sino que supuso la culminación de un proceso iniciado siglo y medio antes, consolidando una línea de investigación que combinó herramientas del análisis real, la teoría de operadores y el estudio profundo de los sistemas ortogonales.
Periodos de Gauss
(2025-06-04) Rodríguez García, Diego; Castaño Domínguez, Alberto; Rojas León, Antonio; Álgebra
The main objective of this work is to study Gaussian periods, which are finite symmetric sums of roots of unity whose properties make them a very useful tool in Algebraic Number Theory. One of their most remarkable applications, which motivated Gauss to study them, is the construction of regular polygons using only a straightedge and a compass, a topic that will also be addressed in this work. Furthermore, Gaussian periods are of great importance in the study of cyclotomic extensions, as they form an integral basis of the subfields of a square-free cyclotomic extension and provide primitive elements of the intermediate extensions.
Resolución numérica de problemas diferenciales por el Método de Soluciones Fundamentales
(2025-06-04) Pino Molero, David; Doubova Krasotchenko, Anna; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
This work examines the Method of Fundamental Solutions (MFS) together with other meshless numerical methods, such as the Method of Particular Solutions, for solving differential problems, both direct and inverse. The theoretical construction of the method is formalized in the context of partial differential equations (PDEs) using fundamental notions from Distribution Theory. The main objective has been to develop a practical approach, illustrated through classical examples that demonstrate the applicability and efficiency of the MFS to various types of problems (elliptic, parabolic and hyperbolic), as well as to provide MATLAB codes for effective resolution. A general description of the MFS is presented, supported by a collection of applied examples and their corresponding computational implementations, which can serve both as an introduction to meshless methods as a starting point for their extension to more complex problems.
Lineabilidad: Sucesiones y series
(2025-06-04) Pernia Palma, Francisco Javier; Calderón Moreno, María del Carmen; Prado Bassas, José Antonio; Análisis Matemático
Este trabajo estudia la existencia de estructuras algebraicas dentro de conjuntos no lineales de funciones que no cumplen ciertas hipótesis clásicas del Análisis, como el criterio M de Weierstrass o condiciones de derivabilidad. Se analizan sucesiones y series de funciones que, a pesar de no satisfacer las hipótesis de los resultados, sí verifican sus conclusiones. Se definen y examinan familias como las Anti M-Weierstrass y Anti Uniformemente-Diferenciables. Se construyen ejemplos concretos y se demuestra que estos conjuntos son maximal lineables, o incluso denso-lineables en los espacios vectoriales considerados.
Regresión Gamma y su aplicación en la modelización de datos de costes
(2025-07-07) Peña Marín, Adolfo; Muñoz Pichardo, Juan Manuel; Estadística e Investigación Operativa
Este Trabajo Fin de Grado tiene como objetivo profundizar en el Modelo de Regresión Gamma y su extensión a escenarios con dependencia espacial. En la parte teórica se desarrolla la inferencia del modelo: estimación por máxima verosimilitud, propiedades asintóticas de los estimadores y contraste de hipótesis. A continuación, se introduce la dependencia espacial, describiendo la estructura de datos espaciales y adaptando la inferencia del modelo a este contexto. El Modelo de Regresión Gamma es utilizado para modelizar variables continuas, asimétricas a la derecha y positivas, como datos temporales, económicos y, en particular, de costes. Su versión con dependencia espacial permite inferencias más realistas en fenómenos georreferenciados. Para ilustrar su aplicabilidad, se abordan dos estudios de caso en R sobre modelización de datos de costes, se discuten los resultados y sus implicaciones prácticas. Primero, se ajusta el modelo Gamma sin dependencia espacial a una base de datos salarial de trabajadores en Estados Unidos. Después, se incorpora dependencia espacial para analizar costes reales sobre incendios en el Valle del Árrago, comparando dos escenarios: previo y posterior al incendio de 2023. Esto permite explorar si el modelo espacial mejora la precisión predictiva y cómo varían los estimadores antes y después del incendio forestal. Este Trabajo Final de Grado se enmarca en el Proyecto Innovador “Transferencia de tecnología, digitalización y fortalecimiento de los servicios de los ecosistemas forestales de Extremadura” desarrollado por el Grupo Operativo Climaforest, que aplica la tecnología Evarhis en el Valle del Árrago, con el incendio forestal de 2023 como escenario en estudio.
El polinomio de Bernstein-Sato
(2025-06-04) Ortega Gálvez, Isabel; Castaño Domínguez, Alberto; Álgebra
In this work, we focus on the existence and some fundamental properties of the Bernstein-Sato polynomial. To do this, we define the Weyl algebra, which will serve as our working framework. Based on its properties and certain associated operators, we study filtrations in the Weyl algebra, which together with the concept of characteristic variety, allow us to introduce holonomic modules, fundamental for the definition and study of the Bernstein polynomial. Finally, we conclude with a description of the polynomial, examining its main properties and presenting several illustrative examples that demonstrate its computation.
Criptografía de códigos correctores
(2025-07-09) Niño Robles, Óscar; Soto Prieto, Manuel Jesús; Álgebra
Taking into consideration the development of quantum computers that are easily capable of breaking all the cryptosystems used nowadays, new cryptosystems are required. We, mathematicians, are the ones whose job it is. The NIST started a standardization process where among all the submissions received, the next standardized cryptosystems were going to be chosen. In round three, a cryptosystem, CRYSTALSKyber, was chosen to be standardized. In round four, only three cryptosystems were remaining: McEliece, BIKE, and HQC. Finally, HQC was chosen to be standardized. In this survey, we will go deeply into McEliece and HQC cryptosystems explaining how they work, some attacks known, and the previous knowledge we must have to fully understand them. To complement these cryptosystems and to cover all the three cryptosystems in the fourth round of the NIST, we will also see the BIKE cryptosystem in an appendix.
Sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales y aplicaciones a modelos neuronales y sistemas de reacción-difusión
(2025-06-04) Mujeriego Pascual, Mateo; Caraballo Garrido, Tomás; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
Lattice Dynamical Systems (LDS) are dynamical systems that arise from a countably infinite-dimensional system of ordinary differential equations (ODEs), and can be reformulated as a single ODE in an appropriate Hilbert or Banach space, typically involving bi-infinite sequences. Their discrete structure makes them suitable for exploring the dynamical behavior of the system, usually with less technical difficulty compared to the study of the continuous partial differential equation from which the LDS may have been derived. This work presents an introduction to the theory of dynamical systems and to the nonlinear functional analysis required to address the study of LDS. Several representative models are then presented, including the discretization of the reaction–diffusion equation as the main case, as well as the Hopfield and FitzHugh–Nagumo neuronal models. Through these examples, the usefulness of LDS is illustrated in the mathematical modeling of complex phenomena, from both theoretical and applied perspectives.
Aplicaciones de la Teoría de Juegos
(2025-06-03) Montilla Anta, Hugo; Rufián Lizana, Antonio; Estadística e Investigación Operativa
El próximo proyecto trata de estudiar la Teoría de Juegos y algunas de sus aplicaciones. Comienza con las definiciones (capítulo 1) de los términos que utilizaremos a lo largo del trabajo, seguido de la clasificación de juegos (capítulo 2) mostrando cuales son los principales criterios para clasificar los juegos. Tras los apartados introductorios, el texto entra en materia examinando los principales resultados sobre juegos no cooperativos: juegos simultáneos (capítulo 3) y juegos dinámicos (capítulo 4). Al final trataremos el problema de la negociación (capítulo 5), añadiendo algunos ejemplos de la actualidad.

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