Leaps of the chain of m-integrable derivations in the sense of Hasse-Schmidt

Abstract

Sea k un anillo conmutativo. Los módulos de las k-derivaciones m-integrables (en el sentido de Hasse-Schmidt) de una k-_algebra conmutativa forman una cadena decreciente cuyas inclusiones pueden ser estrictas. Decimos que un entero s > 1 es un leap de una k-algebra conmutativa si las 1-_esima inclusión en la cadena anterior es propia. En esta tesis, estudiamos el conjunto que forman los saltos en diferentes contextos. En primer lugar, consideramos k un anillo de característica positiva y probamos que los saltos de cualquier k-algebra conmutativa sólo ocurren en las potencias de la característica. Luego, nos centramos en estudiar el comportamiento de los módulos de las k-derivaciones m-integrables de una k-algebra conmutativamente generada bajo cambios de base y probamos que si consideramos extensiones de cuerpos trascendentes puras y k-_algebras conmutativamente presentadas, entonces el conjunto de los saltos no cambia bajo el cambio de base. Lo mismo ocurre si consideramos extensiones separables de anillos sobre un cuerpo de característica positiva y k-_algebras conmutativamente generadas. Por _ultimo calculamos el módulo de las k-derivaciones m-integrables en diferentes curvas planas. Principalmente, damos los generadores de los módulos de las k-derivaciones m- integrables, donde k es un anillo reducido de característica p, del cociente del anillo de polinomios en dos variables con coeficientes en k sobre un ideal generado por la ecuación xn yq donde n o q no es múltiplo de p.

Let k be a commutative ring. The modules of m-integrable k-derivations (in the sense of Hasse-Schmidt) of a commutative k-algebra form a decreasing chain whose inclusions could be strict. We say that an integer s > 1 is a leap of a commutative k-algebra if the s��1-th inclusion of the previous chain is proper. In this thesis, we study the set of leaps in di erent contexts. First, we consider a commutative ring k of positive characteristic and we prove that leaps of any commutative k-algebra only happen at powers of the characteristic. Thereafter, we focus on studying the behavior of the modules of m-integrable k-derivations of a commutative nitely generated k-algebra under base changes and we prove that if we consider pure transcendental eld extensions and commutative nitely presented k-algebras, then the set of leaps does not change under the base change. The same happens if we consider separable ring extensions over a eld of positive characteristic and commutative nitely generated k-algebras. Finally, we compute the modules of m-integrable k-derivations of di erent plane curves. Mainly, we give the generators of the modules of m-integrable k-derivations, where k is a reduced ring of characteristic p > 0, of the quotient of the polynomial ring in two variables with coe cients in k over the ideal generated by the equation xn �� yq where n or q is not multiple of p.