Métricas equivalentes y existencia de puntos fijos para aplicaciones de tipo no-expansivo

Abstract

La Teoría Métrica de Punto Fijo estudia la existencia de tales puntos bajo condiciones que dependen de la métrica considerada y que no son invariantes si cambiamos la métrica por otra equivalente. Esta teoría tiene sus orígenes en el Teorema de la Aplicación Contractiva de Banach, quién en 1922 probó que toda aplicación contractiva definida en un espacio métrico completo con imagen en sí mismo tiene un único punto fijo. Recordemos que dado un espacio métrico (C; d), una aplicación T : C ! C se dice contractiva si existe una constante K < 1 tal que d(Tx; Ty) _ Kd(x; y) para todo x; y 2 C. Este resultado tiene importantes aplicaciones en diferentes ramas de Matemáticas y en otras ciencias sociales. Durante décadas, los avances sobre Teoría Métrica del Punto Fijo habían sido poco significativos, limitándose a pequeñas extensiones del Teorema de Banach, donde se relajaba débilmente la exigencia de contractividad, o se conseguía alguna generalización de dicho resultado para aplicaciones multivaluadas. Si permitimos en la definición de contractividad que K sea igual a uno, un simple ejemplo como sería una traslación en Rn daría lugar a una aplicación que verifica d(Tx; Ty) = d(x; y) para todo x; y 2 Rn y sin puntos fijos. Si consideramos el ejemplo T : [1;+1) ! [1;+1) dado por Tx = x + 1 x , conseguimos una aplicación que cumple d(Tx; Ty) < d(x; y) para todo x; y 2 [1;+1) y que de nuevo carece de puntos fijos. La existencia de tales ejemplos quizás fue determinante para que muchos investigadores relegaran la posibilidad de rebajar la constante de contractividad al valor K = 1. Dado (C; d) un espacio métrico, vamos a decir que una aplicación T : C ! C es no-expansiva si d(Tx; Ty) _ d(x; y) para todo x; y 2 C Los primeros resultados significativos de existencia de puntos fijos para aplicaciones no-expansivas llegaron en 1965 cuando F.E. Browder, D. Gohde y W. Kirk probaron la existencia de tales puntos en el entorno de espacios de Banach y bajo ciertas condiciones que dependen de la geometría del espacio. En concreto, D. Gohde y F. E. Browder probaron que si T : C ! C es una aplicaci_on no-expansiva, donde C es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de Banach uniformemente convexo, entonces T tiene un punto fijo. Este resultado fue generalizado también en 1965 por W. Kirk, quién probó lo siguiente: Sea X un espacio de Banach con estructura normal débil (todo subconjunto convexo, débil compacto contiene un punto no diametral). Sea C un subconjunto convexo y débil compacto de X y T : C ! C una aplicación no-expansiva. Entonces T tiene al menos un punto fijo. Resulta que los espacios uniformemente convexos son una clase de espacios de Banach que tienen la propiedad geométrica de estructura normal. Los resultados obtenidos dieron lugar a la siguiente nomenclatura: Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad de punto fijo (FPP) si para todo subconjunto convexo, cerrado y acotado y para toda aplicación T : C ! C no-expansiva existe punto fijo. Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad débil de punto fijo (w-FPP) si para todo subconjunto convexo, débil compacto y para toda aplicación T : C ! C no-expansiva existe punto fijo. En espacios de Banach reflexivos ambas definiciones coinciden. Los resultados anteriores afirman que los espacios de Banach uniformemente convexos y más generalmente los espacios de Banach reflexivos con estructura normal (todo subconjunto convexo, cerrado y acotado contiene un punto no diametral) cumplen la FPP. También que los espacios de Banach con estructura normal débil satisfacen la w-FPP. La propiedad de estructura normal no caracteriza ni mucho menos los espacios de Banach con la FPP o con la w-FPP. Tras el resultado de W. Kirk , se puede encontrar una extensa bibliografía donde se estudian nuevas propiedades geométricas no relacionadas con la estructura normal y que igualmente implican la w-FPP o la FPP en caso de espacios de Banach reflexivos. De igual forma, no todos los espacios de Banach cumplen la w-FPP o la FPP. Por ejemplo los espacios de sucesiones `1 y c0 no satisfacen la FPP mientras que en 1981, D.E. Alspach probó que el espacio de Banach L1[0; 1] no cumple la w-FPP. A lo largo de esta Memoria estaremos interesados principalmente en la propiedad de punto fijo FPP. En la última sección del Capítulo 4 y en la primera del Capítulo 5 estudiaremos propiedades relacionadas con la w-FPP y otras extensiones a diferentes topologías. Debido a que todas las propiedades geométricas encontradas que implican la FPP necesitan suponer como hipótesis adicional la reflexividad, durante mucho tiempo se conjeturó que reflexividad y FPP podrían ser condiciones equivalentes para un espacio de Banach. A día de hoy, no conocemos si todo espacio reflexivo tiene la FPP, pero si que existen espacios de Banach no reflexivos que verifican la FPP. Quisiéramos hacer notar lo siguiente: la FPP es una condición que depende de la norma considerada en el espacio de Banach. Al cambiar la norma por otra equivalente el conjunto de aplicaciones no-expansivas puede variar. De hecho la FPP no se conserva por isomorfismos. La Teoría de Renormamiento estudia si un espacio de Banach puede ser renormado o no para satisfacer una cierta condición. En esta línea podemos decir que la Teoría Métrica de Punto Fijo y la Teoría de Renormamiento conectan con la aparición de los siguientes resultados: T. Domínuez Benavides probó en 2009 que todo espacio de Banach reflexivo admite una norma equivalente que sí cumple la FPP. P.K. Lin probó en 2008 que el espacio de sucesiones `1 también admite una norma equivalente cumpliendo la FPP. También se conocen resultados en un sentido negativo, es decir, existen espacios de Banach no reflexivos que no admiten una norma equivalente que pueda cumplir la FPP. Ejemplos de tales espacios son el espacio `1, o los espacios `1 y c0 cuando es un conjunto no numerable. En la actualidad, no conocemos si todo espacio reflexivo cumple la FPP, pero sí que admite una norma equivalente con tal propiedad. Por otra parte, el renormamiento de `1 obtenido por P.K. Lin finalmente prueba que el recíproco de la conjetura anunciada es falso, es decir, existen espacios de Banach no reflexivos que si cumplen la FPP El artículo de P.K. Lin sería nuestra base de partida. A partir de su publicación, han sido varios los artículos que estudian nuevos renormamientos en `1 y en otros espacios de Banach particulares no reflexivos y que satisfacen la FPP. La Memoria presentada está dividida en cinco capítulos. En el primer Capítulo se enuncian los resultados previos que son necesarios para el resto del manuscrito. Pasamos a comentar brevemente el contenido de cada uno de los capítulos siguientes: En el Capítulo 2 definimos un nuevo coeficiente geométrico S(X; p), donde X es un espacio de Banach con una base de Schauder y p es una norma equivalente en X. Este coeficiente será llamado el coeficiente de separación secuencial de (X; p) y diremos que la norma p es secuencialmente separadora si S(X; p) = 1. Daremos numerosos ejemplos de normas secuencialmente separadoras que además no verifican otras propiedades menos generales, probaremos que la definición no es invariante de la base de Schauder, que S(X; p) es siempre un valor _nito y varía entre 1 y 2 cuando la norma es bimonótona. Por _ultimo, estudiaremos otras definiciones equivalentes. En el Capítulo 3 aplicaremos el concepto de normas secuencialmente separadoras a la teoría de renormamientos con la propiedad de punto fijo. Probaremos que todo espacio de Banach con base de Schauder acotadamente completa y que admita una norma equivalente premonótona y secuencialmente separadora, puede ser renormado para tener la FPP. Como caso particular se obtiene el resultado de P.K. Lin citado anteriormente y otros publicados con posterioridad. Sin embargo, nuestra técnica nos va a permitir obtener sucesiones de normas equivalentes cumpliendo la FPP y definidas por recurrencia a partir de una dada. Bajo estas condiciones, se estudian también propiedades de linealidad del conjunto de normas equivalentes en X que cumplen la FPP, probándose que contienen variedades afines n-dimensionales para todo n 2 N. Estos resultados son aplicados en diferentes clases de espacios de Banach y generalizan ampliamente otros conocidos para el caso de `1 y n = 1. En particular, probaremos que ciertos espacios de sucesiones de Musielak-Orlicz pueden ser renormados para tener la FPP, construiremos un método para obtener nuevas familias de espacios de Banach no-reflexivos FPP-renormables y veremos como ciertas sumas directas de espacios de Banach infinito dimensionales también pueden ser renormados para cumplir la propiedad de punto fijo. El Capítulo 4 está dividido en dos secciones. En la primera estudiaremos propiedades geométricas de los espacios de Banach que admiten una norma equivalente secuencialmente separadora. En particular probaremos que tienen la propiedad de Schur y que son hereditariamente `1. En la segunda sección relacionaremos el coeficiente S(X; p) con la _-FPP donde _ es la topología débil o la topología débil estrella en un espacio dual. De_niremos el concepto de _-FPP para una topología arbitraria como una extensión natural de la w-FPP cuando el dominio de la aplicación es compacto para otras topologías que pueden ser consideradas en un espacio de Banach. En particular, probaremos que la condición S(X; p) < 2 implica la estructura normal débil_ en caso de que X tenga una base de Schauder acotadamente completa, y por tanto que X cumple la w_-FPP. En el Capítulo 5 obtendremos propiedades relacionadas con la estabilidad de la propiedad de punto fijo. El concepto de estabilidad estudia si una norma próxima a otra dada verificando la _-FPP conserva también dicha propiedad. El capítulo está dividido en dos secciones. En la primera definiremos el concepto de distancia entre normas equivalentes, veremos que toda norma secuencialmente separadora da lugar una constante de estabilidad igual a 2 para la w_-FPP y además, probaremos que es la máxima cota posible en general. Es decir, no puede existir en `1 ninguna norma equivalente que tenga una cota de estabilidad estrictamente mayor que 2 para la w_-FPP. En la última sección del capítulo estudiaremos resultados de estabilidad en el caso de renormamientos del espacio de sucesiones c0. Concretamente probaremos que el conjunto de normas que no tienen la FPP y que carecen de copias asintóticamente isométricas de c0 es denso en el conjunto de normas equivalentes de c0. Este resultado extiende otros conocidos sobre estabilidad de la FPP en el espacio de sucesiones c0.